¿Cómo se le ocurrió a Heisenberg la mecánica matricial?

Question

He aprendido que la mecánica matricial es anterior a la mecánica ondulatoria de Schroedinger, aunque los libros de texto de introducción a la mecánica cuántica presentan primero la mecánica ondulatoria. La forma de pasar a la mecánica matricial es definiendo los elementos de la matriz:

$$ H_{mn} = \int _{-\infty}^{+\infty} \psi_m^* \hat{H} \psi_n ~\mathrm dV $$

pero estos elementos se definen mediante una función de onda. ¿Cómo llegó Heisenberg (y otros también) a la mecánica matricial y cuál fue la motivación?

He visto la aplicación de la mecánica matricial al momento angular, pero ¿cómo la aplicaría a un sistema simple como una partícula atrapada en un pozo de potencial infinito sin partir del punto de vista de la mecánica ondulatoria?

Answer 1

Desde el principio, hubo tres marcos teóricos para la MC: la mecánica ondulatoria de Schrödinger, la mecánica matricial de Heisenberg y el formalismo abstracto de Bra-Ket de Dirac. El formalismo de Dirac es el estándar, y el que el propio Dirac llamó Teoría de la Transformación.

Weinberg, en su texto sobre QM, aborda brevemente cómo Heisenberg descubrió la mecánica matricial:

El punto de partida de Heisenberg fue el juicio filosófico de que una teoría física no debe ocuparse de cosas como las órbitas de los electrones en los átomos, que nunca pueden observarse. Es una suposición arriesgada, pero le sirvió a Heisenberg...

De ahí que se fijara en las energías de los estados atómicos, y en las velocidades a las que los átomos realizan espontáneamente transiciones radiativas de un estado a otro, como el observables en la que basar una teoría física.

Según Weinberg, Heisenberg se centró entonces en modelar una "partícula con carga $\pm e$ que experimenta un "movimiento armónico simple" con el vector de posición x y luego derivó una relación (ecuación 1.4.10) para $(dx/dt)_{nm}, x^2_{nm}$ y $x^3_{nm}$ después de plantear "el supuesto más sencillo y natural".

Heisenberg no conocía las matrices en aquella época, no formaban parte del conjunto de herramientas de los físicos en general, y sólo cuando mostró su trabajo a Max Born, éste reconoció estas relaciones como casos especiales del "conocido procedimiento matemático conocido como multiplicación de matrices".