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Aproximación de Born-Oppenheimer equivalente al producto Tensor ?

Si tienes una función de onda $ \Psi $ de un sistema que consiste en un electrón y los modos de vibración del cristal, ENTONCES representamos la función de onda $ \Psi %$ estar en el Espacio Hilbert formado por el producto tensorial de los espacios Hilbert correspondientes al electrón con el Espacio Hilbert correspondiente a los modos vibratorios si y sólo si no hay una interacción instantánea entre los electrones y los modos vibratorios; En primer lugar, esto es cierto ¿verdad?

La técnica de aproximación de Born-Oppenheimer nos dice que podemos escribir la función de onda $ \Psi $ como una función de onda de producto- como un producto de la electrónica ( $ \phi $ ) y los modos de vibración' ( $ \zeta $ ) funciones de onda. Escribimos $ \Psi $ = $ \phi \zeta $ ?

Ahora mi pregunta principal:

¿Es la técnica de aproximación de Born-Oppenheimer equivalente a decir que la representación del espacio de Hilbert que $ \Psi $ está situado en el espacio del producto tensorial de las funciones de onda del modo electrónico y vibratorio?

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vlad2135 Puntos 199

Siempre que se unen dos sistemas cuánticos, el espacio de Hilbert de las funciones de onda del sistema resultante es siempre el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las funciones de onda de los sistemas fuente.

Esto no significa que la función de onda total sea siempre un producto de dos funciones de onda de los espacios fuente. En el caso general se ve así: $$ \Psi = \sum_ {ij} \phi_i \zeta_j \qquad (1) $$

Si los sistemas no interactúan, entonces el total de Hamiltonianos es la suma de los Hamiltonianos de los subsistemas: $$ \hat {H}_ \Psi = \hat {H}_ \phi + \hat {H}_ \zeta $$ En este caso se puede probar que cualquier producto de los eigenstates de los subsistemas es un eigenstate de todo el sistema. Pero incluso en este caso la función de onda puede tener la forma (1) porque esta función puede describir cualquier estado del sistema no sólo un estado con energía determinada (que es un eigenstate del Hamiltoniano).

En la aproximación de Born-Oppenheimer la interacción de los subsistemas es sustancial. La base que consiste en los eigenstates (del Hamiltoniano) del sistema de electrones depende del estado de la red cristalina. Sin embargo, esto no significa que el espacio Hilbert de las funciones de onda de los electrones cambie. No perderá ninguna función ni obtendrá otras nuevas.

Así que las respuestas a tus preguntas son:

  1. La función de onda total no está obligada a ser el producto $ \Psi = \phi\zeta $ incluso para subsistemas independientes.
  2. El espacio Hilbert de las funciones de onda totales es siempre el producto tensorial de los de los subítems.

Estas preguntas no son equivalentes.

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