En este trabajo está escrito que
Un grupo$G$ es simple si y solo si el subgrupo diagonal de$G \times G$ es un subgrupo máximo.
¿Cómo puedo probarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
clintp
Puntos
5127
($\Rightarrow$): Supongamos $G$ es simple, y $H\le G\times G$ es un subgrupo que contiene la diagonal subgrupo y algunos $(g,h)$$g\ne h$. Deje $N\le G$ ser el subgrupo de elementos de la $n$ tal que $(e,n)\in H$, lo cual es trivial desde $(e,g^{-1}h)\in H$. Además $N$ es normal, ya que si $(e,n)\in H$$(g,g)(e,n)(g^{-1},g^{-1})=(e,gng^{-1})\in H$. Así por simplicidad $N=G$, lo $(e,g)\in H$ todos los $g\in G$. Por idéntico argumento, $(g,e)\in h$ todos los $g\in G$, por lo que claramente $H=G\times G$. Por lo tanto la diagonal subgrupo es máxima.
($\Leftarrow$): Supongamos $G$ no es sencillo, así que vamos a tener trivial normal y adecuada de los subgrupos $N$. Deje $H=\{(g,ng):g\in G, n\in N\}$, que es un subgrupo ya que si $g,g'\in G$ $n,n'\in N$ hemos $$(g,ng)(g',n'g')=(gg',ngn'g')=(gg',ngn'g^{-1}gg')\in H$$ desde $gg'\in G$$ngn'g^{-1}\in N$. Este contiene la diagonal subgrupo pero todavía es adecuada, por lo que la diagonal subgrupo no es maximal.
