¿Es$AA^T$ una matriz simétrica positiva-definida?

Question

Deje$A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ ser una matriz. ¿Es verdad que$AA^{T}$ es positivo-definido?

Claramente$AA^{T}$ es simétrico. He demostrado que una matriz simétrica$S\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ es positiva-definida si y solo si$S$ tiene solo autovalores positivos. ¿Esto puede ser útil?

Answer 1

Sugerencia: permita que$v$ sea un vector distinto de cero; luego, estableciendo$B=A^T$ por simplicidad, $$ v ^ TB ^ TBv = (Bv) ^ T (Bv) $$ es positivo si y solo si$Bv\ne 0$. ¿Cómo se puede asegurar que$Bv\ne0$ si y solo si$v\ne0$?

Por el contrario, si$AA^T$ es positivo definido, ¿qué puede decir sobre el rango de$A$?

Entonces, ¿cuál es una condición necesaria y suficiente para que$AA^T$ sea positivo definido?

Answer 2

$AA^T$ no es necesariamente positiva definida, pero es positivo semi-definida, lo que significa que $\langle x, AA^Tx \rangle \ge 0$ para todos los vectores $x$. Para ver esto, observe que $\langle x, AA^Tx \rangle = \langle A^Tx, A^Tx \rangle = \Vert A^Tx \Vert^2 \ge 0$. Un ejemplo contrario a la certeza positiva es siempre, al $n = 2$, tomando

$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}; \tag{1}$

entonces

$AA^T = A, \tag{2}$

así que si $x = (0, 1)^T$,

$\langle x, AA^Tx \rangle = 0. \tag{3}$

Es fácil generalizar este ejemplo tomando $A$ a sea una matriz diagonal en $M_{n \times n}(\Bbb R)$, con al menos un cero en la diagonal; muchas otras generalizaciones son también posibles.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 3

Para que una matriz sea positiva definida, necesitamos$x^TMx \geq0$. Considere el caso en que la matriz A no tiene rango completo, por lo que tiene más filas que columnas. Debe quedar claro que existe un vector$x$ donde$ x \neq 0 $, tal que$x^TA = 0$. Por lo tanto, tenemos$x^TAA^Tx = 0$. Por lo tanto,$AA^T$ no puede ser estrictamente positivo definido. (Pero puede demostrar que siempre es semi-positiva definida).