Demuestre que todas las derivadas de $f(x) = \frac{\sin(2\pi x)}{\pi x}$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R})$

Question

Me gustaría demostrar que todas las derivadas de $f(x) = \frac{\sin(2\pi x)}{\pi x}$ pertenecen a $L^2(\mathbb{R}).$

Una ruta que he probado es un enfoque de series de potencia. Si expandimos nuestra función $f$ en una serie de potencia convergente, obtenemos

$$f(x) = 2 - \frac{(2)^3}{3!}(\pi x)^2 + \frac{(2\pi)^5}{5!}(\pi x)^4 - \cdots.$$

Así que podemos diferenciar término por término para producir la serie de potencias para el $k$ Derivada de tercer orden $f^{(k)}$ para todos $k \in \mathbb{N}$ . Usando esta perspectiva, está claro que no tenemos ninguna singularidad en $x = 0$ que causaría $\int (f^{(k)})^2$ de explotar allí. Sin embargo, el método de las series de potencia no muestra claramente cómo cada $f^{(k)}$ decae en el infinito.

Para mostrar el decaimiento en el infinito, he intentado un enfoque más de fuerza bruta, aplicando simplemente la regla del cociente. Por ejemplo, a partir de $x = 0$ tenemos

$$f'(x)= \frac{2\cos(2\pi x)}{x} - \frac{\sin(2\pi x)}{\pi x^2}.$$

Cada plazo de $(f')^2$ tendrá entonces un $x^n$ factor, donde $n \ge 2$ para que $f'$ es integrable al cuadrado a partir de cero. Esta idea parece prometedora, pero utilizando la regla del cociente es más difícil establecer una fórmula para cada $f^{(k)}$ .

Agradecería cualquier comentario sobre cómo combinar mis ideas en un argumento acabado. Las soluciones alternativas también son bienvenidas.

Answer 1

Desde $f \in L^2(\mathbb{R}) \iff \hat{f} \in L^{2}(\mathbb{R})$ entonces basta con trabajar en el dominio de la frecuencia. Utilizando la convención unitaria y ordinaria de la frecuencia para la transformada de Fourier, sabemos que \begin{align} \mathcal{F}[f^{(n)}](\xi) = (2\pi i\xi)^{n}\hat{f}(\xi) \end{align} Pero como $f$ es un $\mathrm{sinc}$ función, $\hat{f}$ tiene un soporte compacto, y por lo tanto $\mathcal{F}[f^{(n)}] \in L^{2}(\mathbb{R})$ .

Answer 2

Utilizando la serie de potencias de $\sin$ se puede ver fácilmente que $f$ es suave en $\mathbb R$ . Así que cada $f^{(n)}$ existe y es continua en $\mathbb R$ y para garantizar que $f^{(n)}$ pertenece a $L^2(\mathbb R)$ todo lo que necesitas saber es su sumabilidad en $\pm \infty$ .

Para $x\neq 0$ se puede escribir $f(x)$ como $f(x)=h(x)g(x)$ con $h(x)=\sin(2\pi x)$ y $g(x)=\dfrac{1}{\pi x}$ .

Además, $$h^{(k)}(x)=(2\pi)^k\sin\left(2\pi x+\dfrac{k\pi}{2}\right)$$ y $$g^{(k)}(x)=\dfrac{(-1)^k k!}{\pi}\dfrac{1}{x^{k+1}} $$ por lo que, utilizando la regla general de Leibniz, obtenemos para cualquier $x\neq 0$ : $$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n \binom {n}{k}\dfrac{(-1)^k k! (2\pi)^{n-k}}{\pi \cdot x^{k+1}}\sin\left( 2\pi x+\dfrac{(n-k)\pi}{2}\right)$$

Cada término del lado derecho es una función continua e integrable al cuadrado en $\pm \infty$ así que $\left(f^{(n)}\right)^2$ es sumable en $\pm \infty$ y $f^{(n)}$ pertenece a $L^2(\mathbb R)$ .

Answer 3

La respuesta de Nick Thompson está perfectamente bien, pero quizás quieras evitar considerar la transformada de Fourier. Fíjate en que, como $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ satisface la ecuación diferencial: $$ x g''=xg-2g'\tag{1}$$ diferenciando ambos lados $n$ tiempos que recibimos: $$ x g^{(n+2)}+(n+2) g^{(n+1)} = -\left(x g^{(n)} + n g^{(n-1)}\right)\tag{2}$$ y al establecer $h_n(x)=x g^{(n)}+n g^{(n-1)}$ la última identidad toma la forma $$ h_{n+2}(x) = -h_{n}(x).\tag{3} $$ Observe que $h_1(x)=\cos x$ y $h_2(x)=-\sin x$ Así que $|h_n(x)|\leq 1$ . Ahora: $$ \left|x g^{(n+1)}+(n+1)g^{(n)}\right|\leq 1 \tag{4}$$ conduce a: $$ \left|x^{n+1} g^{(n+1)}+(n+1)x^n g^{(n)}\right|\leq x^n, $$ $$\left| \frac{d}{dx} x^{n+1}g^{(n)}\right|\leq x^n,$$ $$ \left| g^{(n)} \right |\leq \color{blue}{\frac{1}{n+1}}.\tag{5}$$ Si ahora volvemos a enchufar $(5)$ en $(4)$ nos encontramos con que: $$ \left| x g^{(n+1)} \right| \leq 2 \tag{6} $$ Así que..: $$ \int_{1}^{+\infty} \left(g^{n}(x)\right)^2\,dx \leq 4\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=\color{red}{4}.\tag{7}$$ Ahora, sólo tenemos que acotar el $L^2$ norma sobre $[0,1]$ . Al reunir $(5)$ y $(7)$ obtenemos: $$\int_{0}^{+\infty}\left( g^{(n)}(x)\right)^2\,dx \leq \color{blue}{\frac{1}{(n+1)^2}}+\color{red}{4}.\tag{8}$$ Utilizando $(5)$ y $(6)$ el último límite se puede mejorar hasta: $$\color{green}{\int_{0}^{+\infty}\left( g^{(n)}(x)\right)^2\,dx} \leq\int_{0}^{+\infty}\min\left(\frac{1}{n+1},\frac{2}{x}\right)^2\,dx = \color{green}{\frac{4}{n+1}}.\tag{9} $$ La última línea también da que el $L^2$ norma de $g^{(n)}$ llega a cero a medida que $n\to +\infty$ , lo que demuestra que $\widehat{g}$ es de soporte compacto, por ejemplo. Obsérvese también que el límite encontrado en $(9)$ es esencialmente la mejor hasta una constante multiplicativa, ya que al considerar la transformada de Fourier de $g$ que tenemos: $$\int_{0}^{+\infty}\left( g^{(n)}(x)\right)^2\,dx=\color{purple}{\frac{\pi}{4n+2}}.\tag{10}$$

Answer 4

Las funciones $$s_{n,a}(x)=\frac{\sin(x)}{ax^n}\qquad c_{n,a}(x)=\frac{\cos(x)}{ax^n}$$ son $L^2$ en $[1,+\infty)$ (y $(-\infty, -1]$ ) para cada $n\geq 1$ y cada $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

También tenemos que $$\dfrac{d}{dx}s_{n,a}(x)=c_{n,a}(x)-ns_{n+1,a}(x)$$ $$\dfrac{d}{dx}c_{n,a}(x)=-s_{n,a}(x)+ns_{n+1,a}(x)$$ Por lo tanto, si establecemos $$V=\mathrm{Span}\{ s_{n,a}(x), c_{n,a}(x)\ \vert\ n\geq 1,\ a\in\mathbb{R}^*\}$$ entonces cada elemento de $V$ está en $L^2([1,+\infty))$ Además, la derivada de un elemento de $V$ como una función en $\mathcal{C}^\infty((0,+\infty))$ está de nuevo en $V$ .

La función $f(x)=2\sin(x)/x$ que es analítico en $\mathbb{R}$ Por lo tanto $\mathcal{C}^\infty$ pertenece a $V$ como todos sus derivados. Por lo tanto, $f$ y todos sus derivados están en $L^2([1,+\infty))$ (y $L^2((-\infty, -1])$ por lo que, al ser continuos, están en $L^2(\mathbb{R})$ . Sustitución de $x$ con $2\pi x$ obtenemos la función original.