Prueba falsa del límite de una serie

Question

Ahora, sé que esto es correcto:

$$ \begin{align*} \lim_{n \rightarrow\infty} \left(\frac 1{n^2}+\frac 2{n^2}+\ldots+\frac n{n^2}\right)&=\lim_{n \rightarrow\infty} \left[\frac 1{n^2} \left(\frac n2\right)(1+n)\right]\\ &=\lim_{n \rightarrow\infty} \frac {1+n}{2n}\\ &=\frac 12\;. \end {align *} $$

¿Pero qué está mal con el siguiente razonamiento?

$$ \begin{align*} \lim_{n \rightarrow\infty} \left(\frac 1{n^2}+\frac 2{n^2}+\ldots+\frac n{n^2}\right)&=\lim_{n \rightarrow\infty} \frac 1{n^2} + \displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty} \frac 2{n^2} +...+ \displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty} \frac n{n^2}\\\\ &=0+0+\ldots+0\\\\ &=0\;? \end {align *} $$

Answer 1

Mira $$\frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2}$$ for the first few values of $$n:

$$\begin{array}{c} \frac11\\ \frac14&+&\frac24\\ \frac19&+&\frac29&+&\frac39\\ \frac1{16}&+&\frac2{16}&+&\frac3{16}&+&\frac4{16}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots \end{array}$$

Es cierto que cada columna es convergente a $0$, pero el número de columnas es creciente, al mismo tiempo, y no sé hasta que el trabajo es que el efecto va a 'ganar'. En este caso, ninguno de los premios: casi exactamente equilibrio, con un límite total de $1/2$.

Es algo análogo a $0\cdot\infty$ indeterminado formas, los límites de la forma $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)g(x)$ donde$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$$\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\infty$: aquí $f$ puede ganar, haciendo que el límite de $0$ o $g$ puede ganar, lo que es $\infty$, o aproximadamente el equilibrio, haciendo algún número real positivo.

Answer 2

El error es que en su razonamiento $$ \lim_{n \rightarrow\infty} (\frac 1{n^2}+\frac 2{n^2}+...+\frac n{n^2}) $$

$$=\lim_{n \rightarrow\infty} \frac 1{n^2} + \displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty} \frac 2{n^2} +...+ \displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty} \frac n{n^2} $$

usted tiene un número finito de adición en lugar del infinito. Ahora, para ser precisos, formal y serio - si usted tiene la serie $\sum\limits_{k=1}^n a_k(n)$ $$ \lim\limits_n\sum\limits_{k=1}^n a_k(n)\neq \sum\limits_{k=1}^n \lim\limits_n a_k(n), $$ la mayoría de simple razón de ser que la LHS, no depende de la $n$, mientras que el HR - que es una consecuencia de tomar el límite en la suma, donde la suma de los límites dependen de $n$.