Módulo de reducción$p$ en campos numéricos

Question

Para cada número primo $p$, no existe un mapa $$f:\mathbb{P}^n(\mathbb{Q})\to\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)$$ definidas por: por $P\in \mathbb{P}^n(\mathbb{Q})$, podemos encontrar una única tupla $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{Z}^n$ de coprime enteros tales que $P=[x_1,\dots,x_n]$. Entonces $f(P):=[\overline{x_1},\dots,\overline{x_n}]\in \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)$.

Ahora, reemplace $\mathbb{Q}$ por un campo de número de $K$ $p$ por un alojamiento ideal $\mathfrak{p}$$\mathcal{O}_K$. Un papel que he leído habla de un mapa $$f:\mathbb{P}^n(K)\to\mathbb{P}^n(\mathcal{O}/\mathfrak{p}).$$ Pero ¿cómo se define ? Para $P\in\mathbb{P}^n(K)$, podemos encontrar $(x_1,\dots,x_n)\in\mathcal{O}_K^n$ tal que $P=[x_1,\dots,x_n]$, sin embargo, si $\mathcal{O}_K$ no es un UFD, no podemos escoger necesariamente, de tal modo que $x_i\not\in\mathfrak{p}$ algunos $i$ como en el aprovechamiento racional de los casos...

Answer 1

No podemos escoger necesariamente, de tal modo que $x_i \notin \mathfrak{p}$ algunos $i$ como en el aprovechamiento racional de los casos...

A la derecha, pero no necesitamos. En orden para la reducción de la mapa se define no necesitamos $x_i \in \mathcal{O}_K$ todos los $i$; necesitamos $v_{\mathfrak{p}}(x_i) \geq 0$ todos los $i$ $v_{\mathfrak{p}}(x_i) = 0$ durante al menos un $i$. En otras palabras, podemos definir la reducción de mapa mediante la sustitución de $R$ con su localización $R_{\mathfrak{p}}$, que tiene la misma fracción de campo $K$, y es un DVR por lo tanto, una unidad flash usb.

Tenga en cuenta que esto funciona para un valor distinto de cero el primer ideal $\mathfrak{p}$ en cualquier dominio de Dedekind $R$ con fracción de campo $K$.