¿Cuál es el significado de "algebraicamente indistinguible"?

Question

Escuché el término par de veces (en la clase de teoría de campo y en el libro), por ejemplo: las diferentes raíces de$p(x)=x^3-2$ son "algebraicamente indistinguibles".

Entiendo el significado intuitivamente, pero ¿qué significa realmente?

Answer 1

Dijo elementarily, que significa que usted no puede distinguir campo-teóricamente ( $\mathbb Q$ ) entre las raíces, es decir, cualquier polinomio de igualdad de $\rm\:f(x) = g(x),\: f,g \in \mathbb Q[x]\:$ que es cierto para una raíz que también vale para la otra raíz. Por lo tanto, las raíces son indistinguibles en el idioma de los campos ( $\mathbb Q$ ).

Esto puede ser probado, simplemente, sin la teoría de campo. Es decir, desde que $\rm\:p(x)\:$ es irreductible, es el menos grado del polinomio $\in \mathbb Q(x)\:$ con root $\alpha = \sqrt[3]{2}.\:$ $\rm\:f(\alpha) = g(\alpha)\iff f(\alpha)-g(\alpha) = 0,\:$ y los polinomios $\rm\:h(x)\in\mathbb Q(x)\:$ tal que $\rm\:h(\alpha) = 0\:$ son precisamente los múltiplos del mínimo polinomio $\rm\:p(x),\:$ else $\rm\:gcd(p(x),h(x))\:$, sería un divisor de a $\rm\:p(x)\:$ tener $\:\alpha\:$ como root (desde $\rm\:gcd(p(x),h(x)) = a(x)p(x)+b(x)h(x)\:$ por Bezout). Por lo tanto $\rm\:h(\alpha) = 0\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:h(x) = p(x)\hat h(x),\:$ para algunos $\rm\: \hat h(x)\in \mathbb Q(x),\:$, por lo que cada raíz de $\rm\:p\:$ también es una raíz de $\rm\: h = f - g.\:$ por lo Tanto si $\rm\:f(\alpha) = g(\alpha)\:$ es verdadero para uno raíz de $\rm\:p\:$ entonces es cierto para todas las raíces de $\rm\:p.$

Cuando uno aprende la teoría de campo de la razón de esto se hace más claro. Es decir, la "conjugación" mapa enviar a una raíz a otro $\:\alpha\to \alpha'\:$ es un anillo homomorphism $\mathbb Q$ (es decir, que se conserva sumas y productos, y es el mapa de identidad en $\mathbb Q$). Por lo tanto $\rm\:f(\alpha) = g(\alpha)\:$ mapas a $\rm\:f(\alpha') = g(\alpha')\:$ debido a que los hom preservar sumas y productos, de modo que también los polinomios (y los coeficientes se $\in \mathbb Q$, por lo que son fijos).

Observe en particular que es la definición de un (anillo) homomorphism (estructura de la preservación de mapa), que sirve para especificar lo que se considera "esencial" que las propiedades algebraicas de la estructura de anillo. Se especifica con precisión qué aspectos de la estructura que estamos interesados en, y excluye a los que no lo somos. Por lo tanto, aunque tenemos muchos diferentes representaciones de $\mathbb C$ no todos son isomorfos son los campos, si los elementos están representados por pares, matrices, polinomios, etc. Todos ellos tienen la misma multiplicación y la adición de tablas, y que es la única estructura que deseamos capturar en la abstracción de un anillo, viz. los elementos y cómo se relacionan entre sí en virtud de las operaciones de la estructura. Cualquier otra estructura, tales como la representación de los detalles (por ejemplo, estructura interna de los elementos, digamos como una matriz) no puede ser distinguido en el lenguaje de los anillos.

Volviendo a nuestro ejemplo, el campo obtenidos por contigua a una de las causas de $\rm\:p\:$ $\mathbb Q$es isomorfo como un campo a la obtenida por contigua a cualquier otra raíz. Otras propiedades de las raíces (tamaño real vs complejos, etc) no puede ser distinguido puramente campo-teóricamente ( $\mathbb Q$ ).

Esperemos que esto ayuda a transmitir de una forma más precisa el significado del término informal algebraicamente indistinguibles. La frase también se utiliza en formas análogas de otras estructuras algebraicas.

Answer 2

¿A cuál de las dos raíces cuadradas de$−1$ deberíamos llamar$i$ y cuál deberíamos llamar$−i$? Cualquiera que llamemos$i$, mostraremos una unidad por encima de$0$ cuando dibujemos una imagen. ¿Tiene algún sentido decir que hay una diferencia entre elegir uno de ellos para ese papel en lugar de otro? Si no, entonces en ese sentido son indistinguibles.

Answer 3

Significa que para cualquier par de raíces$p$,$q$ de$x^3-2$, hay un isomorfismo de campo$F$ de$\Bbb{Q}[x]/\langle x^3-2\rangle$ para sí mismo, que tiene$F(p)=q$ y$F(q)=p$.