Número de autointersección de una curva compleja en un espacio proyectivo complejo

Question

Actualmente estoy tratando de conseguir un apretón en realidad el cálculo de algunos diferencial-definición geométrica. Estoy buscando en el siguiente mapa de$\mathbb{CP}^{1}$$\mathbb{CP}^2$:

$f([z_0,z_1])=[z_0^3,z_0 z_1^2,z_1^3]$

Lo que no entiendo es cómo uno podría ir sobre el cálculo de la auto-intersección de número de esta. No se trata de una inmersión, por lo que necesito para tomar una inmersión en la misma homología de primera clase? Y ¿cómo puedo realmente calcular - perturbando el mapa un poco y luego contar transversal intersecciones con el signo (esto resultó ser muy desordenado con mis elecciones), o por el hecho de encontrar el Poincaré dual (¿cómo uno va sobre eso?) y la integración?

En caso de que alguien se está preguntando, este problema surge al intentar comprender la contigüidad de la desigualdad de la J-holomorphic curvas.

Gracias ya por cualquier ayuda que pueda dar!

Answer 1

Así, el cohomology/intersección de la teoría de $\mathbb{CP}^2$ es bastante simple. Su generadas por la clase de la hyperplane. Así que cada curva es $dH$ donde $H$ es la clase de la hyperplane y $d$ es un número entero.

Además, $\mathbb P^2$ no tiene curvas de clase $dH$$d<0$. Usted ha descrito un cúbicos: para que su clase es $3H$, y la auto-intersección es $9H^2$.

Por lo $H^2 = pt$. Ya sea por su argumento favorito de la topología de la copa del producto o por la observación de que dos (genérico) líneas en $\mathbb P^2$ se cortan en un punto de forma transversal.

En general, encontrar el Poincaré doble a algunos de la clase y la integración puede ser un poco de un dolor. $\mathbb P^2$ es en realidad no es demasiado malo. He esencialmente se describe más arriba en términos tan vagos. Solo hay una clase a pensar acerca de lo que es la clase de la hyperplane.

Answer 2

Uno tiene$g=(d-1)(d-2)/2$ para curvas suaves por lo que su curva es necesariamente singular, como usted señala. Pero no necesita una inmersión para calcular la auto intersección. Como la clase de homología de la curva es$3[\mathbb{C}P^1]$, su autointersección es necesariamente$9$. ¡Esto se debe a que una línea proyectiva tiene autointersección$1$ por definición de geometría proyectiva!