Prueba simple de que$\pi$ es irracional: usa factores primos del denominador

Question

Una prueba Simple que $\pi$ es irracional

Considerar el Gregorio - Leibniz serie de $\pi/4$: $$\frac \pi 4 = 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 + \cdots $$

Deje $A_n/B_n$ ser la fracción irreducible dado por la suma parcial $S_n$ $n$th plazo $\pm 1/(2n-1)$.

Puede ser demostrado que el mayor número primo $p_\max$ en el individuo plazo denominadores de $S_n$ satisface $n < p_\max \leq 2n-1$. (Postulado de Bertrand).

Se puede demostrar que $p_\max$ debe ser un primer factor de $B_n$, y por lo tanto $p_\max$ es un límite inferior en $B_n$.

De ello se desprende que $n$ es un límite inferior en $B_n$.

Supongamos $A/B$ es la fracción irreducible $\pi/4$.

Asunción: $B \geq \liminf_{n \to \infty} (B_n)$

Dado este supuesto, $B$ no puede ser finito, y por lo $\pi/4$ es irracional.

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Creo que para ser una verdadera prueba, la hipótesis debe ser probada. Tendría que ser difícil?

Answer 1

La idea de prueba se rompe porque podría demostrar que$0\notin\mathbb Q$ al considerar la secuencia$$a_n = 2^{-n}$ $ Tenemos$$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ $ pero el denominador es exactamente$2^n$, que diverge.

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Generalmente, asumes$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac ab \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n = a \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = b$ $ que es falso. Solo lo contrario se cumple ($\lim a_n = a \in \mathbb R \ni \lim b_n = b \ne 0 \Rightarrow \lim \frac{a_n}{b_n} = \frac ab$)

Answer 2

Considere los números primos, escritos en orden:$p_1, p_2, p_3,\ldots$
Es decir, $p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, p_5=11, \ldots$. Ahora considere la secuencia$$\frac{p_1-1}{p_1}, \frac{p_2-1}{p_2}, \frac{p_3-1}{p_3},\ldots$ $

Al igual que en el PO, esta es una secuencia de fracciones, todas irreductibles, con un primo cada vez mayor que divide el denominador. Sin embargo, el límite de esta secuencia es$1$, que es racional.