¿Cuál es la interpretación geométrica de la media aritmético-geométrica?

Question

La aritmética–media geométrica de 2 valores $a_0$,$b_0$, es el valor de la aritmética y geométrica de los valores convergen, se $$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \text{ and } b_n=\sqrt{a_{n-1} .b_{n-1}}$$ con $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = AGM(a_0,b_0)$$

La aritmética y la geométrica de los valores tiene una interpretación geométrica simple

http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/student.folders/callinan.michael/Essays/Essay2/Essay27.gif

si $a_0$ es el segmento de la FE, y $b_0$ es el segmento por ejemplo, entonces el radio CD es la media aritmética, y el segmento ED es la media geométrica.

Es posible sacar la media aritmética–media geométrica en la que el círculo (o hay otra interpretación geométrica tal vez no impliquen círculos)?

Answer 1

El promedio angular de la distancia entre el perímetro de una elipse y su centro:

\begin{align*} \langle r \rangle_{\theta} &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} r \, d\theta \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{a b}{\sqrt{a^2\sin^2 \theta+b^2\cos^2 \theta}} \, d\theta \\ &= \frac{2ab}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2\sin^2 \theta+b^2\cos^2 \theta}} \\ &= \frac{ab}{\operatorname{agm}(a,b)} \end{align*}