¿Cómo dar sentido a las coordenadas complejas en los colectores?

Question

Estoy acostumbrado a la siguiente definición de una suave múltiples:

1. Una $n$-dimensiones de gráfico para un espacio topológico es un par $(U,x)$ donde $U$ es un conjunto abierto de dicho espacio y $x : U\to \mathbb{R}^n$ es un homeomorphism.

2. Dos $n$-dimensiones de los gráficos $(U,x)$, $(V,y)$ para un espacio topológico se dice $C^\infty$ compatible si $U\cap V=\emptyset$ o $U\cap V\neq\emptyset$ $x\circ y^{-1} : y(U\cap V)\to x(U\cap V)$ $y\circ x^{-1}: x(U\cap V)\to y(U\cap V)$ $C^\infty$ funciones $\mathbb{R}^n$.

3. Una $n$-dimensional $C^\infty$ atlas para un espacio topológico es una colección de $n$-dimensional $C^\infty$ compatible con gráficos cuyos dominios cubrir el espacio topológico.

4. Un suave manifold es un Hausdorff, de segunda contables topológica del espacio junto con un máximo de $n$-dimensional $C^\infty$ atlas.

Eso es básicamente la misma. Ahora, es muy común ver a la gente haciendo algo en el caso de $S^2$ y colectores relacionados con ella: como spacetimes con simetría esférica.

Lo que se hace es: la gente utiliza la proyección estereográfica para mapa de $S^2\setminus \{N\}$ a $\mathbb{R}^2$, la construcción de la tabla

$$x(a,b,c)=\left(\dfrac{a}{1-c},\dfrac{b}{1-c}\right)$$

con dos coordinar las funciones de $x^1$$x^2$. Ahora, obviamente, desde la $\mathbb{C}$ es sólo $\mathbb{R}^2$, con una multiplicación de la ley, podemos escribir

$$x=(x^1,x^2)=x^1(1,0)+x^2(0,1)=x^1+ix^2.$$

Eso está muy bien. De nuevo, como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ es sólo $\mathbb{R}^2$, por lo que el gráfico puede ser visto como un mapeo $x : S^2 \setminus \{N\}\to \mathbb{C}$.

Ahora aquí viene lo que me preocupa. En lugar de utilizar coordinar las funciones de $x^1=I^1\circ x$ $x^2=I^2\circ x$ uno cambia a $z,\overline{z}$. Para que la gente pruebe a utilizar la "coordinación de funciones", como

$$z(a,b,c)=\dfrac{a}{1-c}+i\dfrac{b}{1-c},\quad \bar{z}(a,b,c)=\dfrac{a}{1-c}-i\dfrac{b}{1-c}$$

No puedo obtener el punto sobre cómo rigurosamente el sentido de esta. Quiero decir, el par $(z,\bar{z})$ es un mapa de $(z,\bar{z}) : S^2\setminus\{N\}\to \mathbb{C}^2$, por lo que no es un gráfico. Además, como un verdadero espacio vectorial $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{R}^4$ lo cual es bastante extraño aquí.

Finalmente, toda la información acerca de las coordenadas que ya está contenido en $z$ por encima. De hecho, $\bar{z}$ es sólo una operación que se realiza en $z$.

Entonces, ¿cuál es el punto con esto? ¿Cómo se hace rigurosamente en el contexto de las definiciones que he mencionado, el sentido de este enfoque? ¿Cómo es esto válido y riguroso cosa que hacer, y ¿cuál es la idea detrás de esto?

Answer 1

Esto va a ser una respuesta larga, pero esta es una buena pregunta que trae algunas buenas ideas que a menudo no están claramente explicadas en la escuela primaria tratamientos.

Hay dos cosas que están pasando aquí. En primer lugar, tenemos la noción de un complejo colector -- este es un $2n$-dimensiones reales del colector, junto con un máximo de atlas de cartas cuyos mapas de transición son todos holomorphic, cuando consideramos el codominio de las cartas para ser $\mathbb C^n$ (identificado con $\mathbb R^{2n}$ en la forma estándar). Dado un colector $M$, los valores complejos de coordinar las funciones de $(z^1,\dots,z^n)$ de cualquier gráfico se llama complejo de coordenadas o holomorphic coordenadas en $M$. Usted está en lo correcto de que toda la información acerca de un punto que ya está contenido en estas complejas coordenadas.

La segunda cosa es que una vez que contamos con un complejo colector, podemos empezar a pedir que lisa complejo de funciones con valores en (abrir subconjuntos de) el colector son en realidad holomorphic. En términos más simples, son aquellos cuyas coordenadas representaciones en cualquier holomorphic coordinar gráfico se holomorphic en el sentido usual de la palabra; el hecho de que varios de los gráficos de superposición holomorphically asegura que esta es independiente de la elección de la tabla.

Pero también podemos enfocar esta cuestión desde el punto de vista de formas diferenciales. Si $f = u+iv$ es un complejo de valores de función suave en un subconjunto abierto de $M$, podemos considerar su diferencial como un complejo de valores de $1$forma: $df = du + idv$. Técnicamente, esta es una sección de la complexified la cotangente del paquete, cuya fibra, $p\in M$ $2n$- dimensiones complejo espacio vectorial $T^*_p M\otimes \mathbb C$, o, equivalentemente, el espacio de las funciones lineales de$T_pM$$\mathbb C$. La pregunta es, ¿cómo podemos saber de $df$ si $f$ es holomorphic o no?

Si elegimos local holomorphic coordenadas $(z^j)$ y a escribir sus partes real e imaginaria como $z^j = x^j + i y^j$, entonces podemos pensar que cualquier liso de valores complejos de la función $f$ localmente como una función de la $2n$ real de las variables de $(x^1,\dots,x^n,y^1,\dots y^n)$, y escribir su diferencial como los siguientes valores complejos de $1$-forma $$ df = \frac{\partial f}{\partial x^1} dx^1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x^n} dx^n + \frac{\partial f}{\partial y^1} dy^1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial y^n} dy^n. $$ Por otro lado, considerar la compleja valores de $1$formas de $dz^1,\dots,dz^n,d\bar z^1,\dots d\bar z^n$ donde$dz^j = dx^j + i dy^j$$d\bar z^j = dx^j - i dy^j$. Ellos son linealmente independientes sobre $\mathbb C$, y por lo tanto también el de proporcionar un local coframe para la complexified la cotangente del paquete. Un poco de álgebra lineal muestra que $df$ también puede ser escrito en términos de este coframe de la siguiente manera: $$ df = \sum_{j=1}^n \frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x^j} - i\frac{\partial f}{\partial x^j} \right) dz^j + \sum_{j=1}^n \frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x^j} +\frac{\partial f}{\partial x^j} \right) d\barra z^j . $$

Con las coordenadas reales de los componentes de la $df$ son sólo las derivadas parciales de $f$ respecto a la de coordinar las funciones. Motivados por analogía con ese caso, nos vamos a definir las expresiones $\partial f/\partial z^j$ $\partial f/\partial \bar z^j$ como sigue: $$ \frac{\partial f}{\partial z^j} = \frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x^j} - i\frac{\partial f}{\partial x^j} \right) \qquad \frac{\partial f}{\partial \barra z^j} = \frac12 \left( \frac{\partial f}{\partial x^j} +\frac{\partial f}{\partial x^j} \right). $$ Entonces $$ df = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial z^j} dz^j + \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial \barra z^j} d\barra z^j . $$ Lo bueno de esta fórmula es que las ecuaciones $\partial f/\partial \bar z^j = 0$ $j=1,\dots,n$ son exactamente los de Cauchy-Riemann ecuaciones, por lo $f$ es holomorphic si y sólo si $df$ puede ser expresado como una combinación lineal de $dz^1,\dots,dz^n$.

Hasta ahora, estas son sólo unas anotaciones elegido para hacer que la última fórmula para $df$ buen aspecto. Basado en esta fórmula, es tentador pensar que de la $2n$ variables $(z^1,\dots,z^n,\bar z^1,\dots, \bar z^n)$ como si fueran independientes de variables complejas; y creo que de $\partial f/\partial z^j$ $\partial f/\partial \bar z^j$ como si fueran derivadas parciales, obtenidos mediante la celebración de algunas de estas variables, fijos y diferenciando con respecto a los otros; y pensar de una función como holomorphic si y sólo si es "independiente de la $\bar z^j$s'." Pero, como usted bien ha señalado, esto no tiene sentido, ya que si se mantiene $z^j$ fijo, a continuación, $\bar z^j$ se queda fijo.

Sin embargo, hay más aquí que el ojo. Primero de todo, vamos a pensar en un complejo de valores de la función polinomial de las variables reales $x^j,y^j$. Podría o no podría ser holomorphic, dependiendo de si se satisface el de Cauchy-Riemann ecuaciones. Por ejemplo, el polinomio $(x^1)^2 - (y^1)^2 + 2ix^1y^1 = (z^1)^2$ es holomorphic, mientras que $(x^1)^2 + (y^1)^2 = z^1 \bar z^1$ no lo es.

Pero también podemos reescribir $f$ como un polinomio en $(z^j,\bar z^j)$, simplemente por hacer las sustituciones $x^j =(z^j + \bar z^j)/2$, $y^j =(z^j-\bar z^j)/(2i)$. A continuación, puede ver que $f$ es holomorphic si y sólo si ninguna de las $\bar z^j$'s se muestran en esta representación de la $f$.

Podemos extender esta idea real de las funciones analíticas como también, de un complejo de valores reales-analítica de la función puede ser expresada a nivel local por una convergente de alimentación de la serie en $(x^j,y^j)$, y luego, al hacer el mismo sustituciones como en el anterior, se puede escribir como una convergente de alimentación de la serie en $(z^j,\bar z^j)$. Una función de este tipo es holomorphic si y sólo si no $\bar z^j$'s aparecen en el poder de la serie.

En este contexto, casi se puede dar sentido a la idea de la $z^j$'s y $\bar z^j$'s siendo las variables independientes. De poder de la serie en el $z^j$'s y $\bar z^j$'s, que sólo puede hacer la sustitución formal $\bar z^j \mapsto w^j$, y obtener un convergentes de alimentación de la serie en $2n$ variables complejas $(z^j,w^j)$. Vamos a llamar a esa función $g(z,w)$. A continuación, la función original de $f$ puede ser recuperado como $f(z) = g(z,\bar z)$, e $f$ es holomorphic si y sólo si $g$ era independiente de todas las $w^j$'s.

Todo este método sólo tiene sentido real para funciones analíticas -- si $f$ es meramente una función suave de $(x^j,y^j)$, entonces no tiene sentido tratar de evaluar con $z^j$ $\bar z^j$ variando de forma independiente. Pero aún así, la gente tiende a pensar de manera informal de una función para la que $\partial f/\partial \bar z^j =0$ como de alguna manera ser "independiente de la $\bar z^j$s'."