A veces la teoría general es "buena" en la que muestra que un functor es representable por una expresión algebraica espacios (por ejemplo, Hilbert functors, Picard functors, el grueso de los módulos de espacios, etc). ¿Qué tipo de técnicas generales están ahí para mostrar que una expresión algebraica de espacio es un esquema? A veces, es posible identificar a su algebraica de espacio con algo "más" (por ejemplo, que "viene" de GIT como es el caso del espacio de moduli de las curvas), pero existen otros métodos?
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Geoff Dalgas
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2023
Otro ejemplo: el Nakai-Moishezon teorema dice que es un divisor D en X es amplio iff para cada curva C en D, $D \cdot C > 0$$D^2 > 0$. Esto vale también para algebraica de espacio.
Como una aplicación, usted puede mostrar, por ejemplo, que el grueso de espacio de $\bar{M_g}$, el Deligne-Mumford compactification de los módulos de la pila de suave género g curvas, está representado por una variedad proyectiva. El punto es que Artin del representibility teorema indica que el grueso del espacio existe como una expresión algebraica de espacio, y entonces usted puede utilizar Nakai-Moishezon para demostrar que cuenta con una amplia línea de paquete. Esto es genial porque evita GIT.
Jeff Atwood
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31111
Uno de los resultados a lo largo de esas líneas es que cualquier algebraica de espacio que tiene un cuasi-finito de morfismos a un esquema que es en sí mismo un esquema.
Más precisamente, si $f:X\to Y$ es separado, localmente quasi-finito, localmente finito tipo de morfismos de una expresión algebraica espacio a un esquema, por el Stein teorema de factorización, $f$ es cuasi-afín, por lo $X$ debe ser un esquema. Si desea más detalles, este es el Corolario de 17,8 en mis notas de Martin Olsson las pilas de curso.
Geoff Dalgas
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2023
Un ejemplo: una expresión algebraica de espacio $X$ es un sistema iff $X_{\text{red}}$ es un esquema.
Una aplicación de esto es que un cociente (me puede faltar un adjetivo o dos aquí) por un reductor de grupo a través de una Artin anillo es un esquema. Llame al cociente $X$. Entonces es fácil probar que $X$ algebraica de espacio. Por otra parte, cuando su Artin anillo es un campo de la teoría clásica de la reductora grupos indica que el cociente es un esquema, es decir, $X_{\text{red}}$ es un esquema, y se puede concluir que el $X$ es en realidad un esquema.
