Contando el número de conjuntos

Question

Dado dos enteros positivos$n$ y$k$ con la misma paridad, cuente el número de conjuntos$$S = \{0 < s_1 < s_2 < \dots < s_k = n\},$$ such that $ s_1, s_3, \ dots$ are odd numbers, and $ s_2, s_4, \ dots $ son números pares.

Answer 1

Insinuación. El problema es equivalente a contar el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación$$(2x_1+1)+(2x_2+1)+ \dots+ (2x_k+1)=n$ $ que es$$x_1+x_2+ \dots+ x_k=\frac{n-k}{2}.$ $ Then$s_i=\sum_{j=1}^i(2x_j+1)$ para$i=1,2,\dots,k$. Para contar estas soluciones, use la técnica Estrellas y barras .