Calculando la integral definida$\int _0^a \:x \sqrt{x^2+a^2} \,\mathrm d x$

Question

Calcule la siguiente integral definida$$\int _0^a \:x \sqrt{x^2+a^2} \,\mathrm d x$ $

Esto es lo que hice:

$u = x^2 + a^2 $

$du/dx = 2x$

$du = 2xdx$

$1/2 du = x dx$

$\int _0^a\:\frac{1}{2}\sqrt{u}du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\left(\frac{3}{2}\right)}$ de$0$ a$a$.

$\frac{1}{3}\cdot \left(x^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}$ de$0$ a$a$.

Finalmente obtuve:

$\frac{1}{3}\left(81+a^2\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\left(a^2\right)^{\frac{3}{2}}$

pero esto fue incorrecto

La respuesta correcta fue:

$\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)a^3$

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Insinuación

Cometiste errores aquí:

ps

Ya casi terminaste ...

Answer 2

Calculó la antiderivada correctamente.

$$\frac{1}{3}\cdot \left(x^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}$$ from $ 0$ to $ a$ is $$\frac{1}{3}\cdot \left(a^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\cdot \left(0^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}=\\\frac{1}{3}\cdot((2a^2)^\frac{3}{2}-(a^2)^\frac{3}{2})=\frac{1}{3}\cdot(2^\frac{3}{2}a^3-a^3)=\frac{1}{3}(2^\frac{3}{2}-1)a^3$ $

Lo cual explica la respuesta en tu libro. No sé cómo obtuviste$$\frac{1}{3}\left(81+a^2\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\left(a^2\right)^{\frac{3}{2}}$ $ del paso anterior.

Answer 3

Simplemente puede usar la regla de cadena inversa para la integración y obtiene:$$\int_0^a x\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac 12\int_0^a 2x\sqrt{x^2+a^2}dx=\left[\frac{(x^2+a^2)^\frac 32}3\right]_0^a=\\=\frac{(2a^2)^\frac 32}3-\frac{(a^2)^\frac 32}3=\color{red}{\frac{(2\sqrt 2-1)}3|a|^3}$ $