¿Cuál es la ecuación para una elipse dada 3 puntos y la línea tangente en esos puntos?

Question

¿Alguien sabe cómo encontrar esto? Sé que tengo la suficiente información para poder generar una elipse (sólo necesita cinco puntos de una cónica, tengo tres más de las laderas o tangentes en los puntos que cuentan como puntos), pero mi problema es tratar de resolver el sistema de ecuaciones que se incluyen los derivados que de golpe, hasta el infinito, porque uno de los tangente es vertical.

Aquí están mis puntos y las tangentes asociados con ellos.

\begin{align} P_1&=(0,-3);\ \ m_1=+1\\ P_2&=(1,\pm0);\ \ m_2=\infty \; \; \text{i.e. %#%#%}\\ P_3&=(0,+3);\ \ m_3=-1\\ \end{align}

Gracias por ayudar a resolver este problema!

Answer 1

Comience con algo relativamente fácil encontrar el círculo que pasa a través de $P_1$ $P_3$ y se ha apropiado de tangentes. Su centro es la intersección de las perpendiculares a las tangentes a través de los dos puntos. Por simetría, que al $(-3,0)$, y su radio es, a continuación,$3\sqrt2$. Vamos $$f: (x,y)\mapsto(x+3)^2+y^2-18$$ so that the equation of this circle is $f(x,y)=0.$ Now let $$g:(x,y)\mapsto(x+y-3)(x-y-3).$$ The degenerate conic $g(x,y)=0$ consists of the tangent lines through $P_1$ and $P_2$ (it's the product of the equations of the lines). Every nontrivial linear combination of these two equations is itself a conic that passes through the two points and has the correct tangents at those points. Use Plücker's mu to find the linear combination that also passes through $P_2$: $$f(P_2)g(x,y)-g(P_2)f(x,y) = -2(x+y-3)(x-y-3)-4((x+3)^2+y^2-18)=0$$ which simplifies to the equation $$3x^2+y^2+6x-9=0.$$ Happily, this is an ellipse. The gradient at $(1,0)$ is $(12,0)$, so the tangent at $P_2$ es vertical, según sea necesario. (Como el Azul señaló en su comentario, no teníamos necesidad de usar las tres tangentes a la construcción de esta elipse.)

Answer 2

Un computacionalmente costoso enfoque (que evita la solución de un sistema lineal de seis incógnitas con sólo cinco variables), es considerar que la ecuación de la cónica a través de los puntos $P=(P_x, P_y)$, $Q=(Q_x,Q_y)$, $R=(R_x,R_y)$, $S=(S_x,S_y)$, $T=(T_x,T_y)$ está dada por

$$\left|\begin{array}{c,c,c,c,c,c} x^2 & y^2 & x y & x & y & 1 \\ P_x^2 & P_y^2 & P_x P_y & P_x & P_y & 1 \\ Q_x^2 & Q_y^2 & Q_x Q_y & Q_x & Q_y & 1 \\ R_x^2 & R_y^2 & R_x R_y & R_x & R_y & 1 \\ S_x^2 & S_y^2 & S_x S_y & S_x & S_y & 1 \\ T_x^2 & T_y^2 & T_x T_y & T_x & T_y & 1 \\ \end{array}\right| = 0$$

Se le da tres puntos, dicen, $P = (0,-3)$, $Q = (1,0)$, $R=(0,3)$. Usted necesita dos más. Podemos aproximarlos el uso de pequeños desplazamientos a lo largo de cualquiera de las dos de la tangente líneas. Por ejemplo, $$m_1 = 1: \;S = P + s\,(1,1) = (s,s-3) \qquad m_2 = \infty: T = Q + t\,(0,1) = (1,t)$$

Expandiendo el determinante con la ayuda de una herramienta como Mathematica, los rendimientos

$$-6 s t \left(\quad\begin{array}{c} (3+s+3t-st) x^2 + t(s-1) x y - (s-1) y^2 \\ + ( 6-10s-3t+st) x + 9 (s-1) \end{array}\quad\right)= 0$$

El uso típico de Cálculo de la argucia, insistimos en que $s$ $t$ son simplemente pequeños, no de cero, por lo que la podemos dividir de la ecuación ...

$$(3+s+3t-st) x^2 + t(s-1) x y - (s-1) y^2 + ( 6-10s-3t+st) x + 9 (s-1)= 0$$

... y, a continuación, proceder a calcular la limitación de la forma de la ecuación de $s$ $t$ convertido en minúscula ... sustituyendo $s=t=0$!

$$3 x^2 + y^2 + 6 x - 9 = 0$$

Tenga en cuenta que, en la diferenciación, hemos $$6 x + 2 y y^\prime + 6 = 0$$ que es satisfecho por $(x,y) = (0,3)$$y^\prime = -1$.