Demostrar que un número natural escrito con una $1$ , dos $2$ 's, tres $3$ 's, ... , nueve $9$ no puede ser un cuadrado perfecto.
Es el primer problema que encuentro de este tipo. Así que no tenía ni una sola idea de cómo empezar. No tengo una comprensión adecuada de la inducción matemática por lo que cualquier otro método o una pista será realmente apreciable.
Utilizando la pista dada por Bram28 la breve explicación a la pista es:-
La suma de los dígitos de cada cuadrado perfecto sigue exactamente una condición de las cuatro dadas a continuación. Sea $n^2$ sea cualquier cuadrado perfecto y $k$ representan la suma de los dígitos de $n^2$ entonces
O bien $k\equiv 0\pmod 9$
O $k\equiv 1\pmod 9$
O $k\equiv 4\pmod 9$
O $k\equiv 7\pmod 9$
En este caso la suma de dígitos del número formado por cualquier permutación de uno $1$ , dos $2$ 's, tres $3$ 's,.... , nueve $9$ sería $$\sum_{i=1}^9 i^2=285$$
Ahora $$285\equiv 6\pmod 9$$
Por lo tanto, cualquier permutación de los dígitos dados no formará un cuadrado perfecto.
Q. E. D
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