¿Cómo se calcula la suma infinita$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin(i)}{i}$? Según Wolfram Alpha, el valor de la suma es$\frac{\pi - 1}{2}$, pero no me dice el método por el cual obtiene este resultado.
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Claude Leibovici
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Considere las dos sumas$$S=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(k)}{k}\qquad \text{and} \qquad C=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k)}{k}$ $$$C+iS=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k)+i \sin(k)}{k}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{i k}} k=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(e^{i})^ k} k=-\log \left(1-e^i\right)$ $$$C-iS=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(k)-i \sin(k)}{k}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-i k}} k=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(e^{-i})^ k} k=-\log \left(1-e^{-i}\right)$ $ Expandiendo el logaritmo $$ C + i S = - \ frac {1} {2} \ log \ left (\ sin ^ 2 (1) + (1- \ cos (1)) ^ 2 \ right) + i \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ sen (1)} {1- \ cos (1)} \ right )$$ $$C+i S=-\frac{1}{2} \log (2-2 \cos (1))+i \left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\right)$ $ $$ Ci S = - \ frac {1} {2} \ log \ left (\ sin ^ 2 (1) + (1- \ cos (1)) ^ 2 \ right) -i \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ sen (1)} {1- \ cos (1)} \ right) $$$$C-i S=-\frac{1}{2} \log (2-2 \cos (1))+i \left(\frac{1}{2}-\frac{\pi }{2}\right)$ $$$C=\frac{(C+iS)+(C-iS)}2=-\frac{1}{2} \log (2-2 \cos (1))$ $ ps
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Usando el poder de la serie $$ -\log(1-z)=\sum_{k=1}^\infty\frac{z^k}{k} $$ tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(k)}{k} &=\frac1{2i}\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ik}-e^{-ik}}{k}\\ &=\frac1{2i}\left[-\log(1-e^i)+\log(1-e^{-i})\right]\\ &=\frac1{2i}\log(-e^{-i})\\ &=\frac{\pi-1}{2} \end{align} $$ Es decir, desde la $1-e^{-i}$ está en el primer cuadrante y $1-e^i$ está en el cuarto, la parte imaginaria de $-\log(1-e^i)+\log(1-e^{-i})$ entre $0$$\pi$.
La convergencia está garantizada por Dirichlet de la Prueba y la convergencia hacia el valor esperado por Abel del Teorema.
