¿Por qué las series generalizadas de Fourier parecen converger en funciones tan alejadas del espacio de Hilbert?

Question

Mi entendimiento es que una de las propiedades más importantes de un espacio de Hilbert separable, es que podemos descomponer sus elementos en serie de Fourier generalizada. Por ejemplo, considere un conjunto de funciones de base $f_n(x)$ que se extiende por el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$. Para cualquier función de $g(x) \in L^2(\mathbb{R})$, la generalización de la serie de Fourier $$\sum_{n = 0}^\infty \langle g, f_n \rangle\, f_n(x), \qquad \qquad \langle g, f \rangle := \int_{-\infty}^\infty g(x)\, f(x)\, dx$$ converge a $g(x)$ $L^2$ norma. (A veces nos puede hacer aún más fuertes declaraciones; por ejemplo, para el espacio de Hilbert $L^2([0, 2\pi])$ con el estándar de funciones de base $e^{i n \theta}$, Carleson del teorema garantiza que el (estándar) la transformada de Fourier de la serie anterior converge a $g(x)$ en casi todas partes. Como se muestra aquí, esto no es cierto en general).

Sin embargo, la generalización de la transformada de Fourier de la serie anterior parece que funciona mucho mejor de lo que podríamos esperar. Es decir, si tenemos una función de $g(x)$ que hace que no se encuentran en el espacio de Hilbert e ingenuamente considerar las anteriores de la serie, parece que todavía convergen a $g$. Por ejemplo, las funciones de $g(x) \equiv 1$ $g(x) = x^2$ obviamente no se encuentran en $L^2(\mathbb{R})$. Sin embargo, cuando trato de trazar los primeros términos de la anterior serie de Fourier generalizada con la Hermite funciones de base, la serie de hecho aparece (a ojo) para acercarse a $g(x)$ más y más de cerca.

El de arriba generalizado de la serie de Fourier tiene sentido formal para cualquier función de $g(x)$ de manera tal que el producto interior $\langle g, f \rangle$ está definido. Para las funciones de base (como las funciones de Hermite) que se encuentran en el espacio de Schwartz, este espacio de funciones $g$ es mucho mayor que $L^2(\mathbb{R})$, e incluso incorpora algunas de las funciones que divergen de manera exponencial en el infinito. No podemos aplicar el $L^2$ norma para las funciones de $g(x)$ que no se encuentran en $L^2(\mathbb{R})$, pero ¿hay algún otro sentido que el de arriba generalizado de la serie de Fourier converge a $g$? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Dado un regular de Sturm Liouville ecuación $$\frac{d}{dx} \left[ p(x) y' \right] +q(x)y+\lambda w(x)y=0$$ con $w(0)>0$, las funciones propias puede ser elegida para ser una base ortogonal con respecto al producto interior $$\langle f, g \rangle_w = \int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$$ en el espacio de Hilbert $H_w= \{ f | \langle f, f \rangle_w < \infty \}$.

Los polinomios de Hermite, $H_n$ son las funciones propias de la ecuación de Hermite

$$\frac{d}{dx} \left[ e^{-x^2}y' \right] + \lambda e^{-x^2}y = 0$$

En este caso,$w= e^{-x^2}$, y el interior es profuct $$\langle f, g \rangle_w = \int_{-\infty}^\infty f(x) g(x) e^{-x^2} dx$$

Por lo tanto, por lo anterior, para todos los $f \in H_w$ hemos $$f=\sum_n \langle f, H'_n \rangle_w\, H'_n \hspace{1cm}(*)$$ donde $H_n'$ es la normalizado Polinomio de Hermite.

Ahora, tenga en cuenta que $$\phi_n =e^{-\frac{x^2}{2}} H_n'$$

Ahora, vamos a $g(x)=f(x) e^{-\frac{x^2}{2}}$. Luego, a partir de $(*)$ tenemos $$g(x)= \sum_n \langle f, H'_n \rangle_w\, \psi_n$$ y $$\langle f, H_n' \rangle_w = \int_{-\infty}^\infty f(x) H_n' e^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^\infty g(x) \psi_n(x) dx$$ que es la norma interna del producto $\langle g, \phi_n \rangle$.

De modo que la teoría de Sturm Liouville ecuaciones, aplicado a la ecuación de Hermite, dice que si tienes que elegir algunos $g(x)$ si $f(x) = e^{\frac{x^2}{2}}g(x) \in H_w$, entonces tenemos $$g(x)= \sum_n \langle g, \psi_n \rangle \psi_n $$ y esto es sólo el estándar de la serie de Fourier de la convergencia en el espacio de Hilbert $\left( H_w, \langle \, \rangle_w \right)$.

No estoy seguro de si la condición de integrabilidad realmente se sostiene en este caso, si no, probablemente, la razón es más sutil. Pero esto parece ajustarse estrechamente la teoría general de la eigenfuncton expansión de Sturm-Liouville ecuaciones.

P. S. yo creo que si uno escribe directamente el Liouville forma de la ecuación de Hermite, a continuación, $\phi_n$ son las funciones propias y se obtiene directamente $$$g(x)= \sum_n \langle g, \psi_n \rangle \psi_n $$ sin tener que ir a través de más espacio general $H_w$.