Relativa a la matriz de

Question

Encontrar los valores de a y b para que las ecuaciones sean coherentes $X +aY+Z=3$; $X+2Y+2Z =b$; $X+5Y+3Z=9$; Traté de resolverlo a pesar de que mi teléfono no está cargando el complemento de intento que hice Pero llego a un punto donde tengo que aplicar $R_3-(R_2+\lambda)$

Es esto válido?

Answer 1

Considere la posibilidad de ecuaciones$$(1)\qquad x+ay+z=3\\(2)\qquad x+2y+2z=b\\(3)\qquad x+5y+3z=9$$$(2)$ y $(3)$, obviamente, son linealmente independientes. Aquí tenemos dos casos diferentes:

Caso 1: $(1)$ es independiente de $(2)$ $(3)$

En este caso, el determinante de a $\begin{pmatrix} 1 & a &1 \\ 1 & 2 &2 \\1 & 5 &3 \\\end{pmatrix}$ es distinto de cero y las ecuaciones son consistentes con solución única para cualquier $b$. El factor determinante es $-a-1$ $a\ne -1$ $b$ libre de Caso 1 se lograría.

Caso 2: $(1)$ es dependiente de a$(2)$$(3)$.

Esto sucede cuando $a=-1$ por lo tanto tenemos $$(1)=2*(2)-(3)$$ and it is consistent iff $$3=2b-9$$ or $b=6$.

En otras palabras, para el $a\ne -1$, $b$ es gratuito y para $a=-1$, $b=6$

Forma alternativa (utilizando elementales de fila transformaciones):

Considere la matriz $\begin{pmatrix} 1 & a &1&3 \\ 1 & 2 &2&b \\1 & 5 &3&9 \\\end{pmatrix}$ y los siguientes pasos:$$\begin{pmatrix} 1 & a &1&3 \\ 1 & 2 &2&b \\1 & 5 &3&9 \\\end{pmatrix}$$$R_2-R_1\to R_2\\R_3-R_1\to R_3$$$\begin{pmatrix} 1 & a &1&3 \\ 0 & 2-a &1&b-3 \\0 & 5-a &2&6 \\\end{pmatrix}$$$R_1-R_2\to R_1\\R_3-2R_2\to R_3$ $$\begin{pmatrix} 1 & 2a-2 &0&6-b \\ 0 & 2-a &1&b-3 \\0 & 1+a &0&12-2b \\\end{pmatrix}$$Look at $R_3$. If $+1\ne 0$ then there exists an answer and if $un+1=0$ there should forcibly be that $12-2b=0$ or $b=6$