Si las raíces de la ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d=0$ son iguales, se puede entonces establecer una relación entre el $a, b, c, d$?

Question

Si las raíces de la ecuación cúbica $$ax^3+bx^2+cx+d=0$$ are equal, can one then establish a relationship between $a, b, c, d$?

Perdóname por cualquier error en la redacción del problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Si la raíz es el triple, entonces el polinomio es $a(x-r)^3$. Esto significa que $r=-b/3a$ y se puede concluir $$ c=\frac{b^2}{3a}\quad d=\frac{b^3}{27a^2}.$$

Answer 2

El uso de las fórmulas de Vieta tenemos relaciones como $$b^3=27a^2d$$ $$b^2=3ac$$ Y $$bc=9ad$$

Answer 3

A continuación, tenga en cuenta que si la raíz de la cúbico es $\alpha$ con multiplicidad $3$, tenemos: $$(x-\alpha) ^3=0$$ $$\implies \color{red}{1}x^3\color{green}{-3\alpha}x^2\color{blue}{+3\alpha^2}x\color{orange}{-\alpha^3} =0$$ Compare esto con el polinomio de la forma que usted tiene en mente.