Umbral de relaciones sombra de los básicos de la binomial transformar, revelando conexiones subyacentes entre las diversas áreas de la matemática (como Leibnitz mismo, predijo--véase H. Davis "Teoría de los Operadores Lineales"):
I) Umbral de notación es breve y sugerente (cortesía de Blissard y contemporáneos):
$ \displaystyle (a.)^n= a_n \; \; \; $ (umbral variable y la reducción de superíndice).
Expresan binomio de convolución simplemente:
$$ \displaystyle (a. + b.)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_{k} b_{n-k} \; \;$$
(tenga cuidado para evaluar $(a.+b.)^0=a_0b_0$$(a.+b.)^1=a_0b_1+a_1b_0$),
$$ \displaystyle e^{a. \; x}= \sum_{n \ge 0} a_n \frac{x^n}{n!} \; \; ,$$
$$ \displaystyle e^{a.\;x}\; e^{b.\; x} = e^{(a. + b.)x}\; \; .$$
De una manera más precisa la notación es el uso de $\langle a.^n \rangle = a_n$ a especificar claramente cuando la reducción de op, o la evaluación de un umbral de cantidad, se va a hacer. E. g.,
$$\langle a.^n a.^m\rangle=\langle a.^{n+m}\rangle= a_{n+m} \ne a_n a_m= \langle a.^n\rangle\langle a.^m\rangle$$
y $$\langle\exp[\ln(1+a.x)]\rangle=\langle(1+a.x)\rangle=1+a_1x$$
$$\ne \exp[\langle\ln(1+a.x)\rangle]=\exp \left[ \sum_{n \ge 1} \langle\frac{a.^nx^n}{n}\rangle\right]=\exp\left[\sum_{n \ge 1} \frac{a_nx^n}{n}\right]\; .$$
II) y lo Mismo para umbralized ops, permitiendo escueta especificación y la derivación de muchas relaciones, especialmente entre las funciones especiales. Una buena oferta de cálculo umbral es acerca de la definición de estos ops para secuencias especiales, tales como la caída $(x)_{n}=x!/(x-n)!$ y subiendo factoriales $(x)_{\bar{n}}=(x+n-1)!/(x-1)!$ y la Campana de polinomios $\phi_n(x)$.
Ejemplos:
$ (:AB:)^n = A^n B ^n$ (defn. para el fin de preservar la exponenciación para cualquier operador )
$$ (xD)^n = (\phi.(:xD:))^n = \phi_n(:xD:) \; \; ,$$
$$ e^{txD} = e^{t \phi.(:xD:)} \; \; .$$
De $xD \; x^{n} = n \; x^{n}$, es fácil derivar
$$e^{t\phi.(x)} = e^{x (e^t-1)} \; \; .$$
(Ver este MO-Q para la junta.g.f.)
III) Umbral de composición inversa pares permiten derivaciones de la combinatoria de las identidades y revelan asociaciones entre los diferentes representantes de operador de cálculos urinarios.
Mira cómo esto se conecta el distributiva operador de exponenciación $:xD:^n=x^nD^n$ a bajar el umbral de los superíndices. La caída de los factoriales y de la Campana de polinomios son un umbral inversa par, es decir, $\phi_n((x).)=x^n=(\phi.(x))_n$. Esto se refleja en las funciones de $\log(1+t)$$e^t-1$, la definición de su correo.g.f.s$e^{x\log(1+t)}$$e^{x(e^t-1)}$, siendo regular la composición de la recíproca y a la menor triangular matrices que contienen los coeficientes de los polinomios (los números de Stirling de primera y segunda clase) ser inversos multiplicativos, por lo que nos podemos mover entre muchos de los representantes de encontrar y relacionar muchas fórmulas. Para la derivada op rep,
$$((xD).)^n=(xD)_n=x^nD^n=:xD:^n=(\phi.(:xD:)).^n=(\phi.(:xD:))_n,$$
así que tenemos una conexión con el umbral reducción de los índices de
$$:xD:^n=((xD).)^n=(xD)_n=x^nD^n.$$
IV) la generalización de La serie de Taylor o el operador de desplazamiento está en el corazón de umbral de cálculo:
$$ e^{p.(x)D_y}f(y) = f(p.(x)+y) \; , $$
(por ejemplo, esta entrada en Una clase de operadores diferenciales y otra en la polinomios de Bernoulli) con casos especiales
$$ e^{:p.(x) D_x:} f(x) = f(p.(x) + x) \; , $$ y
$$ e^{-(1-q.(x))D_y}y^{s-1} \; |_{y=1} = (1-(1-q.(x)))^{s-1} \; ,$$ giving a Gauss-Newton interpolation of $q_n(x)$ (sombras de el binomio de relaciones).
A menudo puede ser usada fácilmente para revelar interesante combinatoria de las relaciones entre los operadores. Un ejemplo sencillo:
$$ e^{txD} f(x) = e^{t\phi.(:xD:)} f(x) = e^{(e^t-1):xD:} f(x) = f(e^{t}x) \; .$$
Usted podría incluso umbralize $t$ para obtener la Faa di Bruno fórmula.
Intentar descubrir algunos op relaciones con los polinomios de Laguerre (sugerencia: observa $:Dx:^n= D^nx^n$).
Como otro ejemplo (agregado de Mayo de 2015) de la interacción entre los operadores diferenciales, cálculo umbral, y las diferencias finitas, tenga en cuenta las relaciones de la Campana de polinomios
$$\phi_{n}(:xD_x:)= \sum_{k=0}^n S(n,k)x^kD_x^k = (xD_x)^n=\sum_{j=0}^\infty j^n \frac{x^jD^j_{x=0}}{j!}=\sum_{j=0}^\infty (-1)^j \left[\sum_{k=0}^j(-1)^k \binom{j}{k}k^n\right] \frac{x^jD_x^j}{j!} \;$$
y la aplicación de estos operadores en $x^m$, $e^{x}$, y $x^s$. (Los S(n,k) son los números de Stirling del segundo tipo.)
He utilizado el poder monomials $x^n$ y sus asociados subir y bajar ops, $x$$D_x$, pero estas relaciones están ensombrecidas por la subida y bajada de ops de todos umbral secuencias de $p_n(x)$ tal que $R \; p_n(x) = p_{n+1}(x)$$L \; p_n(x) = n \; p_{n-1}(x)$. (Las sombras de la Mentira y de la mecánica cuántica aquí también.)
