Una ecuación de diophantine con desconocidos exponentes: $ 4^n + 5^n = 7^m + 2^m $

Question

Un amigo me propuso el siguiente problema

Encontrar todos los naturales de $n$ $m$ tal que $ 4^n + 5^n = 7^m + 2^m $

Me di cuenta de que no existen soluciones tales que $m > n$ desde entonces LHS < HR.

Al $m=n$, parece que las únicas soluciones son $(0,0)$ $(1,1)$

El caso restante se parece más desafiante $ m < n$.

No he logrado ningún avance significativo, sin embargo.

Por favor, ¿puedes compartir cualquier consejo, sugerencia, gracias de antemano.

Answer 1

Reclamo: todas las soluciones satisfacer $m \le 1$.

Supongamos que existe una solución con $m \ge 2$. Mirando la ecuación módulo $4$ obtenemos $$1 \equiv 7^m$$ por lo tanto, $m$ es incluso.
Ahora, mirando la ecuación módulo $5$, obtenemos $$4^n \equiv 2\cdot 2^m$$ por lo tanto $2^{m+1} \equiv 4$ o $2^{m+1} \equiv 1$ mod $5$. pero esto no es posible, incluso,$m$, ya que el $2$ elevado a un extraño poder solo puede ser congruentes a $2$ o $3$ mod $5$.

Así que las únicas soluciones son $(0,0)$$(1,1)$.

Answer 2

Caso $m=n$. Por el Valor medio Teorema, no es $s\in (2,4)$ e no es $t\in (5,7)$ tal que $$2ns^{n-1}=ns^{n-1}(4-2)=4^n-2^n=7^n-5^n=f'(t)=nt^{n-1}(7-5)=2nt^{n-1}$$ donde $f(x)=x^n$. Ahora si $n>1$ $2nt^{n-1}>2ns^{n-1}$ y de ello se sigue que no hay soluciones para $n>1$.