Mostrar que $2n\choose n$ es divisible por $2n-1$

Question

He encontrado muchas preguntas para demostrar $2n\choose n$ es divisible $2$, pero también he observado al tratar de los primeros "$n$" que $2n\choose n$ es divisible por $2n-1$.

Seguro que sí parece cierto cuando $2n-1$ es primo, pero es cierto en general para todos los $n$?

Answer 1

Del catalán números de $\{ C_n\}_{n \ge 1}$ son definidos por $$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$$ estos son conocidos por ser enteros para todos los $n \ge 1$.

Ahora, para $n \ge 2$, $$\binom{2n}{n}=\frac{2n \cdot (2n-1) \cdot ((2n-2)!)}{n \cdot ((n-1)!) \cdot n \cdot ((n-1)!)} = 2 \cdot \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} \cdot (2n-1) = 2C_{n-1} \cdot (2n-1)$$ Esto demuestra que $(2n-1)$ siempre divide $\binom{2n}{n}$, y el cociente es $2C_{n-1}$.

Answer 2

Desde $$ \binom{2n}{n}=2\frac{2n-1}n\binom{2n-2}{n-1} $$ tenemos $$ 2n\binom{2n}{n}=4(2n-1)\binom{2n-2}{n-1} $$ y por lo tanto, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\binom{2n}{n}=\left[4\binom{2n-2}{n-1}-\binom{2n}{n}\right](2n-1)} $$

Answer 3

El caso de al $2n-1$ es primo es trivial. Esto es cierto porque, como sabemos, $\binom{2n}{n}$ es un entero, entonces tenemos que

$$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1) \cdots (2n-1)\cdot 2n}{n!}$$

y $2n-1$ no aparece en la descomposición en factores primos del denominador.

Supongamos ahora que $2n-1$ es compuesto y $p$ es un divisor primo de ella. Obviamente debemos tener $p \le \frac{2n-1}{2} \implies p < n$. Entonces si $p \mid m \le n$ tenemos que $m$ contribuye en la factorización prima de $(n!)^2$ dos veces, pero de manera similar $m$ $2m$ contribuir por lo menos la misma cantidad en $(2n)!$. Obviamente $2n-1$ no puede ser igual a $m$ ($m \le n$) ni a $2m$ ($2n-1$ es impar), por lo que el numerador tiene al menos un colaborador más de $p$. Así que tenemos que $p^k \mid \binom{2n}{n}$ donde $k$ es el más alto poder de $p$ dividiendo $2n-1$. Esto es cierto para cada divisor primo de $2n-1$, por lo que tenemos

$$2n-1 \mid \binom{2n}{n} $$

Por lo tanto la prueba.

Answer 4

$$\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{2n-1}\in\mathbb N.$$ Ver aquí: Para demostrar $n\binom{2n-1}{n-1}$ es divisible por $n(2n-1)$

Por lo tanto, $$\frac{\binom{2n}{n}}{2n-1}=2\cdot\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{2n-1}\in\mathbb N$$

Answer 5

Tenga en cuenta que $\dbinom{2n}{n}$ es un número entero. Tenga en cuenta también que $1$ divide $\binom 21 $ y asumen $n>1$ en adelante.

$\begin{align} \dbinom{2n}{n} &= \dfrac{2n!}{n!\cdot n!} \\ &= \dfrac{2n\cdot (2n-1)\cdots (n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 1}\\ &= \dfrac{(2n)(2n-1)}{n\cdot n}\dbinom{2(n-1)}{n-1}\\ &= 2\dfrac{2n-1}{n}\dbinom{2(n-1)}{n-1}\\ \end{align}$

Ahora $\gcd(2n-1,n)=1$ $n$ debe dividir $2\dbinom{2(n-1)}{n-1}$, $2\dbinom{2(n-1)}{n-1}= kn$ para algunos entero $k$.

A continuación, $\dbinom{2n}{n} = k(2n-1)$ como se requiere.