¿Por qué ' t la independencia de la hipótesis del continuo implica inmediatamente que ZFC es insatisfactoria?

Question

Estoy arriesgando un posible duplicado de... " aquí, en particular con respecto a esta pregunta, esta pregunta, y esta pregunta. Sin embargo, aquí va.

Voy a mantener esta pregunta tan simple como sea posible:

En primer lugar observamos dos hechos:

1. Se ha demostrado que la CH es independiente de ZFC.

2. ZFC es la intención como piedra angular del sistema de las matemáticas.

En segundo lugar: la independencia de CAD a partir de la ZFC tiene (si he entendido bien) llevado a muchos a afirmar que "CH no es ni verdadera ni falsa".

Mi respuesta es: a mí me parece que la independencia de CAD a partir de la ZFC no puede ser "culpa" en la CH, pero debe ser ZFC responsabilidad, por la sencilla razón de que CH nunca tuvo la pretensión de ser, en cualquier manera relacionada con la ZFC axiomas, mientras que los axiomas de ZFC reclamar ser el fundamento de las matemáticas.

Por lo tanto, si ZFC y CH son independientes, esto no dice absolutamente nada acerca de la verdad de estado de CH, y simplemente implica que ZFC es insuficiente. ZFC es simplemente una de las posibles axiomatizations que algunas personas inteligentes ocurrió hace mucho tiempo, así que ¿por qué no tomamos ZFC con un grano de sal. ¿Por qué la gente no está de acuerdo con mi argumento, y en lugar de reclamar la independencia de ZFC y CH implica que CH es "ni verdadero ni falso"?

Answer 1

Es cierto que, si ZFC es consistente, CH es indecidible dentro de ella. Este es sólo un ejemplo de una más general de la realidad: cualquier consistentes recursivamente enumerable de primer orden de la teoría al menos tan fuerte como la aritmética de Peano contiene un enunciado indecidible en esa teoría. Esta es la primera de Gödel de los teoremas de incompletitud; el segundo da otro ejemplo, es decir, una declaración llamando a la teoría consistente.

La verdadera pregunta no es si ZFC tiene limitaciones conocidas de este tipo; por supuesto que sí. La cuestión es que otras declaraciones que se le debe agregar como axiomas. La C en ZFC es el axioma de elección, que en sí es indecidible en ZF. La historia de la teoría de conjuntos ha visto mucho apoyo más amplio en favor de la adición de CA que en favor de, posteriormente, la adición de CH.

Por qué? Bien, echemos un vistazo a algunas de las diferencias:

• Aunque AC fue inicialmente mucho más controvertido de lo que es hoy, se ha llegado a disfrutar de un amplio apoyo por la sencilla razón de que, aunque tiene algunas contra-intuitivo consecuencias tales como Zermelo del buen orden teorema, su negación ha "aún peor" consecuencias tales como la tricotomía violación.
• No sólo es $\beth_1=\aleph_1$ (es decir, la CH) indecidible en ZFC; así es $\beth_1=\aleph_n$ para cualquier entero positivo $n$. ¿Por qué hemos de adoptar la primera, como un axioma? Por el contrario, la AC no tiene una familia infinita de evidente homólogos que se sienten igualmente factible.
• Una cosa buena acerca de la CH es que es un caso especial de una manera más general, la idea que se ve bonito, la GCH ($\beth_\alpha=\aleph_\alpha$ para todos los ordinales $\alpha$). Hay cierto interés en la adición de GCH para ZFC, pero sólo CH en su propia? Eso es impopular compromiso entre ZFC (que es suficientemente débil para algunos de los gustos de la gente) y ZFC+GCH (que es lo suficientemente fuerte como para algunos de los gustos de otras personas).
• Por último, fuera de la teoría de conjuntos $\aleph_1$ normalmente, ni siquiera como un concepto, y así CH no tiene ningún beneficio evidente cuando la fundación de otras áreas de las matemáticas. (Hay excepciones, por ejemplo, no estándar de análisis de los usos CH a considerar la posibilidad real de infinitesimals.) Por el contrario, la CA se utiliza en todo el lugar, por ejemplo, demostrando cada espacio vectorial tiene una base.

Answer 2

Hay dos problemas que veo con tu pregunta.

La primera y más importante es el uso de los términos "verdadero" y "falso", sin comprender que ellos (concedido, muchos matemáticos hacerlo así).¹ Tenemos una buena idea de lo que es $\Bbb N$ e lo $\Bbb R$. Por lo que es fácil hablar acerca de la verdad en el análisis relativo a $\Bbb R$ en algunas lo suficientemente rico idioma que encapsula los números reales tal y como la entendemos; y la verdad en la teoría de números es la verdad en $\Bbb N$ como un modelo de PA.

La teoría de conjuntos, sin embargo, es mucho menos intuitiva. Esto puede ser visto fácilmente por los muchos resultados inesperados en la teoría de conjuntos (de Banach–Tarski a la División de la Paradoja) que derivan del hecho de que nuestra intuición es simplemente no es muy bueno con infinidad de objetos que tienen una estructura pequeña.

Así que como no tenemos un claro y uniforme de la intuición en cuanto a lo que se establece como el, no de la misma manera que nosotros tenemos acerca de los números naturales, o incluso los números reales, es difícil-incluso, imposible tener un modelo canónico de la teoría de conjuntos, donde podemos evaluar cada una de las declaraciones y decidir si es o no es cierto.²

Como no tenemos forma canónica para determinar la verdad y lo falso, no hay ninguna forma canónica para decidir si la Hipótesis continua, o muchas otras declaraciones son "true" o "false". Y esto abre la puerta a otros enfoques de Platonismo.

Para un Platónico, cada declaración debe ser verdadero o falso. Que es también un enfoque ingenuo para las matemáticas. Seguro. Es como que en la vida real, hasta cierto punto. Ya sea que usted es un médico, o no lo eres. El sol va a engullir a la tierra a medida que se expande a una gigante roja, o no (por una de las muchas razones). Las cosas en nuestra vida tienden a tener ciertas absolutismo a ellos,³ así que tratamos de aplicar estos principios a las matemáticas como bien.

Pero la matemática no tiene nada que ver con nuestra realidad. Especialmente la teoría de conjuntos, o cualquier cosa que se ocupa con el infinito, de verdad. Así que ¿por qué debería haber un canónica universo de la verdad y falso? Si nada, conjunto teórico de la investigación muestra que uno de la gran cantidad de matemáticos universos muy diferentes teorías de la celebración de cierto en ellos, puede ser muy interesante.

Bien. Así que no hay de verdadero y de falso aquí. ¿Qué acerca de la segunda cuestión?

 

El segundo problema es que es realmente una buena cosa que ZFC no es una teoría completa. Es una buena cosa que nuestra fundación no nos dice que todas las respuestas.

Fundacional teorías no están allí para "darnos todas las respuestas", que están allí "para formalizar nuestros argumentos en un contexto matemático". ZFC hace que magníficamente en su mayor parte.

Hay un montón de investigación sobre "la eliminación de innecesarios hipótesis" de las matemáticas. Probar algo bajo la suposición de que una función es analítica. Pero tal vez demostrando que bajo la suavidad es suficiente? Tal vez sólo continua? Tal vez sólo mensurable? Tal vez alguna función?

Desea fundaciones que son lo suficientemente fuertes para apoyar su trabajo, pero no demasiado fuerte, que hacen un montón de supuestos innecesarios para usted. Y si bien estoy de acuerdo, los axiomas como $V=L$ son sexy, y que resolver un montón de preguntas (por ejemplo, CH y cosas como el Suslin Hipótesis), para la mayor parte, matemáticas, funciona peachy sin ellos.

No sólo que, una vez que usted comience a poner en conjunto teórico de las "decisiones" en sus fundamentos, su axiomatization del concepto de "conjunto", invariablemente, tienen que convertirse en técnico. ZFC es simple, elegante. Poner CH en ella se implican largos y técnicos declaraciones acerca de las funciones, acerca de los cardenales, por mucho más. Esto va a enturbiar las aguas, y para qué? Sí, CH tiene consecuencias en el análisis y, en general, pero son los suficientes para obtener CH "canónica"?

La respuesta parece negativa. No porque el conjunto de los teóricos de la no atención, sino porque ha habido poco o ningún tipo de presión "trabajo matemático" en relación con la adición de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos. Y de nuevo, esto no es sin razón.

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Notas a pie de página.

1. La verdad es siempre relativa a una estructura fija, en muchos de los casos solo tenemos algún acuerdo tácito acerca de la estructura.

2. Incluso en el caso de $\Bbb N$ no todo el mundo estaría de acuerdo. Por ejemplo, "Supercompact cardenales son consistente con ZFC" es una declaración acerca de los números naturales. Algunos matemático diría que es cierto, que otros no están de acuerdo.

3. Realmente no, aunque.

Answer 3

Hay argumentos clásicos, que históricamente se han visto tan convincente, que están destinados a sostener que los axiomas de ZFC son todas las declaraciones exactas sobre el concepto intuitivo de un puro y bien fundada conjunto.

En principio, sería posible para nosotros para tomar algunos de los nuevos axiomas, además de ZFC. La adición de estos nuevos axiomas podría, en principio, nos permiten demostrar enunciados tales como CH. En particular, por supuesto, sólo podríamos tomar CH a sí mismo como un axioma, además de ZFC.

El problema es que, para los sistemas como ZFC, a muchas personas les gusta tener una justificación de por qué los axiomas deben ser asumidos. Nos puede tomar cualquier declaración, como un axioma, sólo por el bien de razonamiento, pero para los sistemas específicos, tales como la aritmética de Peano, la geometría Euclidiana, o ZFC, nos gusta ver una "razón" por la que cada axioma es aceptado.

Mirando CH en particular, parece difícil justificar por qué íbamos a tomar CH (o su negación) como un nuevo axioma de ZFC. Haciendo así que se siente como que falta el punto - se siente como que estamos arbitrariamente tomar partido. Y algunos otros, "más que justificada" axioma podría venir más tarde, pero al ir en la dirección opuesta a la de la arbitrariedad de la elección que hemos hecho.

Ha habido una cantidad significativa de publicado el debate sobre esta cuestión, que es más filosófica de las matemáticas. Hay algunas personas que trabajan en la teoría de conjuntos que se consideran que los nuevos axiomas puede ser descubierto que resolver CH. Si una suficiente justificación de estos axiomas se podría dar, tal vez un gran número de matemáticos que iba a ver esto como resolver el problema de CH. Pero otros en la teoría de conjuntos son más pesimistas. Un argumento que dan es que, porque entendemos tan bien la manera en que CH es independiente de ZFC, si algunos de los nuevos axioma iban a decidir el CH pregunta, podríamos aplicar las técnicas desarrolladas para la CH para el nuevo axioma, lo que podría poner en duda en aceptar el nuevo axioma en pie de igualdad con el resto de ZFC.

Por último, hay una lingüística de la trivialidad: algunas personas mal uso de la palabra "verdadero" significa "comprobable", así que si dicen "En ZFC, CH no es ni verdadera ni falsa" sólo significan "En ZFC, CH no es ni demostrable ni disprovable". En particular, cualquier modelo de ZFC, por supuesto, CH es verdadero o CH es falso. Por lo que cualquier reclamación que "CH no es ni verdadera ni falsa" tiene que ser leído en otro camino, además de hablar de la verdad en algún modelo en particular.

Answer 4

Una razón por la que algunos mentalidad filosófica lógicos, han argumentado que, en el OP palabras, "CH no es ni verdadera ni falsa" es que han llegado a dudar de si CH es de hecho una clara demanda con un determinado contenido. En un sentido (aunque tal vez esta no es la mejor manera de poner el punto) es una vaga afirmación, y por lo tanto no determinately verdadera ni falsa por esa razón.

¿Cómo puede este tipo de idea, incluso, de ser un corredor? La preocupación, de hecho, se reduce a esto: es el concepto de la totalidad de arbitraria de subconjuntos de un conjunto infinito definitiva? Y la sospecha es que un centenar de años de trabajo en los alrededores (incluyendo aquellos independencia de los resultados arroja algunas dudas sobre si tenemos una clara concepción en juego aquí.

Estoy de presentación de informes, no apoya. Pero un muy distinguido defensor de este tipo de visión es de finales de la década de Solomon Feferman. Hay por ejemplo, un relevante ensayo (accesible en ambos sentidos!) aquí: Es la Hipótesis continua en definitiva un problema matemático? Y no hay comentario por Pedro Koellner aquí.