La extensión de $\mathbb{R}^d$ $\mathbb{R}^k$puede hacerse mediante la función dependen de primera $d$ coordenadas sólo. Por lo tanto, trabajar con un problema de extender la función $f\colon \mathbb{R}^m \to \mathcal{M}_{k\times d}$ en función de $g_3\colon \mathbb{R}^m \to \mathcal{M}_{k\times k}$. Sólo necesitamos el caso de $m=d$, pero no vamos a utilizar.
En primer lugar, vamos a ir a coordenadas polares: reemplace $f$ con la función de $f_1 \colon \mathbb{R}_+ \times S^{m-1} \to \mathcal{M}_{k\times d}$, definido por
$f_1(\rho,y) = f(\rho y)$. Nota, que es continua y $f_1(0,y)$ no dependen $y$.
Nota, que es suficiente para la construcción de una función de $g_1\colon \mathbb{R}_+ \times S^{m-1} \to \mathcal{M}_{k\times k}$, que satisface las siguientes propiedades:
- $g_1$ es continua;
- $g_1(0,y)$ no dependen $y$;
- $g_1(\rho,y)$ es de rango completo;
- $g_1(\rho,y)$ extends $f_1(\rho,y)$ (es decir, primero $d$ columnas son de la misma).
De hecho, podemos definir $g_2(x) = g_1(\left\|x\right\|,x/\left\|x\right\|)$ $\left\|x\right\|\neq 0$ $g_2(0)=g_1(0,y)$ con $y$
(debido a 2-nd propiedad rhs no depende de $y$). A continuación, defina $g_3(x)$ primera $d$ columnas como en $g_2(x)$,
y por último $k-d$ obtenido a partir de $g_2(x)$ por la ley Gramm-Schmidt procedimiento. Como señaló en su pregunta, la ley Gramm-Schmidt procedimiento no romper la continuidad.
Más tarde en la prueba se hará referencia a este procedimiento simplemente como "aplicar la ley Gramm-Schmidt" sin repetir todos los detalles anteriormente mencionados.
De hecho, el pasado $k-d$ vectores de $g_1(\rho,y)$ ya será ortogonal a la primera $d$, por lo que este párrafo se necesita principalmente para introducir `aplicar la ley Gramm-Schmidt" procedimiento.
Así que hemos reducido nuestra pregunta para el siguiente. Dada función continua $f_1\colon \mathbb{R}_+ \times S^{m-1} \to \mathcal{M}_{k\times d}$ la satisfacción de las propiedades de 1 a 3 anteriores, podemos extender a una función $g_2\colon \mathbb{R}_+ \times S^{m-1} \to \mathcal{M}_{k\times k}$, la satisfacción de las propiedades 1-4?
Esta pregunta es más fácil para mí, porque podemos empezar a definir las $g_2$$\rho=0$, y extender esta definición a mayor valor de $\rho$, asegurando que el procedimiento es continua en a $y$. En otras palabras, hemos sustituido $m$-dimensiones de la variable $x$ con una dimensión variable $\rho$, haciendo que el problema unidimensional en un sentido. Por supuesto, todavía tenemos que garantizar, que nuestras acciones son continuas con respecto a $y$.
Definir $f_{-}(\rho,y) = ((f_1(\rho,y))^Tf_1(\rho,y)^{-1}(f_1(\rho,y))^T$ - pseudo-inversa de a $f_1(\rho,y)$, la satisfacción de $f_{-}(\rho,y) f_1(\rho,y) = 1_d$.
Definir $P_0(\rho,y) = f_1(\rho,y) f_{-}(\rho,y)$ - proyector espacio de columnas de $f_1(\rho,y)$, $P_1(\rho,y)=1_k-P_0(\rho,y)$ - proyector en el complemento ortogonal.
Ya que sabemos primera $d$ columnas de $g_1$, es suficiente para definir últimos $k-d$. Se denota la matriz,
consiste en estos últimos $k-d$ columnas de $g_1(\rho,y)$$h_1(\rho,y)$.
De hecho, $k-d$ columnas de $h_1(\rho,y)$ forma la base ortonormales en el intervalo de $P_1$. Algebraicamente, esta condición es equivalente a
(a) $P_1h_1(\rho,y)=h_1(\rho,y)$ y (b) $(h_1(\rho,y))^Th_1(\rho,y)=1_{k-d}$.
Pero supongamos que en lugar de $h_1(\rho,y)$ tenemos $h_0(\rho,y)$, siendo la satisfacción de $(b)$, pero no (una).
Si sus columnas son linealmente independientes de las columnas de a $f_1(\rho,y)$, podemos aplicar la ley Gramm-Schidt. Uno puede comprobar, que una condición necesaria para esto es
$$\operatorname{Tr}\left( (h_0(\rho,y))^T P_0(\rho,y) h_0(\rho,y) \right)<1.$$
Definimos $g_1(\rho,y)$ (o, equivalentemente, $h_1(\rho,y)$) por inductivo procedimiento, por lo que después del paso $n$ va a ser definido por $\rho\in [0,n]$.
Paso 0: queremos definir $g_1(0,y)$. Aviso, que no debería depender de las $y$. Bueno para nosotros, ya tenemos $f_1(0,y)$, que no depende de la $y$.
Así que tenemos que extender una sola matriz. Para ello escribir columnas de $f_1(0,y)$, seguido por $k$ vectores de la base, dando una lista de $k+d$ vectores que abarca $\mathbb{R}^d$.
A continuación, vaya a través de esta lista y deshacerse de todos los vectores, que puede ser expresada como una combinación lineal de los anteriores.
Aplicar la ley Gramm-Schmidt a la lista obtenida de $k$ vectores.
Paso $n+1$: asumimos, que $h_1(\rho,y)$ ya está definida para $\rho\in [0,n]$, y ahora queremos continuamente extender esta definición a $[0,n+1]$.
Nota, que $P_0(\rho,y)$ es continua con respecto a $\rho$$\rho\in [n,n+1]$. Por lo tanto, es uniformemente continua (de manera uniforme con respecto a la $\rho$$y$,
así que podemos aprovechar $\delta=1/N$ (que no dependen de $y$),
s.t. $\left\|P_0(\rho_1,y)-P_0(\rho_2,y)\right\|<1/(k-d)$ $\left\|\rho_1-\rho_2\right\|<1/N$ . Entonces, hacemos este paso en $N$ subpasos, en $l$-th ampliar
$h_1(\rho,y)$ $[0,n+(l-1)/N]$ $[0,n+l/N]$por primera toma de $h_0(\rho,y)=h_1(n+(l-1)/N,y)$ y la aplicación de la ley Gramm-Schmidt.
Intorducing $\rho_{l-1} = n+(l-1)/N$ nota, que hemos
\begin{multline*}
\operatorname{Tr}\left( (h_0(\rho,y))^T P_0(\rho,y) h_0(\rho,y) \right)=\\ \operatorname{Tr}\left( (h_1(\rho_{l-1},y))^T P_0(\rho_{l-1},y) h_0(\rho_{l-1},y) \right)+\\ \operatorname{Tr}\left( (h{}_1(\rho_{l-1},y))^T (P_0(\rho,y)-P_0(\rho_{l-1},y)) h_0(\rho_{l-1},y) \right)
\end{multline*}
con el primer término es igual a 0, y el segundo término es menor que 1, por lo que la ley Gramm-Schmidt se realiza correctamente.
