Polinomio con dos raíces repetidas

Question

Tengo un polinomio de grado 4 $f(t) \in \mathbb{C}[t]$, y me gustaría saber cuando se ha repetido dos raíces, en términos de sus coeficientes.

Enunciado de lo contrario me gustaría encontrar las ecuaciones de la imagen de la cuadratura mapa

$sq \colon \mathbb{P}(\mathbb{C}[t]^{\leq 2}) \rightarrow \mathbb{P}(\mathbb{C}[t]_{\leq 4})$.

(por alguna razón la primera menor índice de no analizar, por lo que se puso en la parte superior).

Por supuesto que puedo escribir el mapa de forma explícita y, a continuación, encontrar suficientes ecuaciones de la mano, pero este se ve incómodo. Yo no soy un experto en la eliminación de la teoría, así que me preguntaba si hay algún dispositivo simple para encontrar explícita de las ecuaciones para esta imagen. Por ejemplo, uno puede detectar polinomios con una raíz repetida utilizando el discriminante, pero no sé cómo proceder a partir de este.

Answer 1

A mí me parece que este ejemplo es fácil de hacer a mano. Por la norma trucos, podemos suponer que su polinomio es de la forma $$x^4+ c x^2 + dx +e.$$ Un polinomio de esta forma es un cuadrado si y sólo si $d=0$$4e=c^2$.