En la prueba que he leído, incluso $k$ implica $4^x=k$$4^y+1=k+1$. Me pregunto por qué no debemos factorizar $4^y+1$ a $pq$, de tal manera que $p, q > 1$, y para resolver $4^x p=k$, $q=k+1$.
Respuestas
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Tenga en cuenta que $k^2 < k(k+1) = 4^{x+y}+4^x < (2^{x+y}+2^x)^2$, es decir,$k < 2^{x+y}+2^x$,
y que $(2^{x+y})^2 < 4^{x+y}+4^x = k(k+1) < (k+1)^2$, es decir,$2^{x+y}-1 < k$.
Desde $2^x$ divide $4^x(4^y+1)$, $2^x$ divide $k$ o $2^x$ divide $k+1$.
Si $k$ es un múltiplo de a $2^x$, entonces a partir de la $2^{x+y}-1 < k < 2^{x+y}+2^x$, debemos tener $k = 2^{x+y}$.
A continuación, $4^{x+y}+4^x = k(k+1) = 2^{x+y}(2^{x+y}+1) = 4^{x+y}+2^{x+y}$. La solución de los rendimientos $x = y$.
Si $k+1$ es un múltiplo de a $2^x$, entonces a partir de la $2^{x+y} < k+1 < 2^{x+y}+2^x+1$, debemos tener $k+1 = 2^{x+y}+2^x$.
Por eso, $4^{x+y}+4^x = k(k+1) = (2^{x+y}+2^x)(2^{x+y}+2^x+1) = 4^{x+y}+4^x+2^{2x+y+1}+2^{x+y}+2^x$, lo cual es una contradicción ya que el $2^{2x+y+1}+2^{x+y}+2^x > 0$.
Por lo tanto, si $x,y,k$ son enteros positivos tales que a$k(k+1) = 4^x(4^y+1)$,$x = y$.
Theo Bendit
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Desde cualquiera de las $k$ o $k + 1$ es aún, y el otro es impar, entonces $k = 4^x$ o $k + 1 = 4^x$. Suponiendo que el último, por causa de la contradicción, esto implica que $k \equiv -1 \mod 4$, pero también que $k = 4^y + 1$. Esto es una contradicción, por lo $k = 4^x$.
Por lo tanto,$k + 1 = 4^y + 1 = 4^x + 1$, por lo tanto $4^x = 4^y \implies x = y$.
