Supongamos $B \subset X$ donde $X$ es un espacio vectorial. $B$ se llama equilibrado si $\alpha B \subset B$ por cada $\alpha \in \Phi$$|\alpha| \leq 1$. Tenga en cuenta que $\Phi = \textbf{R}$ o $\Phi = \textbf{C}$. ¿Qué es la intuición detrás de equilibrado? ¿Por qué definimos? Es "bueno" para un espacio vectorial tener más equilibrada? ¿Por qué se requiere $| \alpha| \leq 1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
[Agregado en respuesta a los comentarios de abajo:] a Pesar de lo que se escribe a continuación, equilibrada no tiene por qué implicar convexo; simplemente no se sigue de la definición. Así que uno debe tomar la siguiente discusión como más bien una explicación sobre convexo equilibrada conjuntos, por lo que vale la pena.
[Respuesta Original de la siguiente manera:]
Equilibrada significa que el juego es simétrico alrededor del origen (es decir, invariante bajo $v \mapsto -v$) y es convexa. Estos son agradables propiedades, la generalización de algunas características útiles de bolas alrededor de la procedencia en $\mathbb R^n$. (Por cierto, si usted no tiene la condición de $|\alpha| = 1$, entonces cualquier equilibrada subconjunto con los no-vacío interior (en $\mathbb R^n$ dicen) sería todo de $\mathbb R^n$, así que no sería tan interesante de la condición.)
También, cualquier vector del espacio va a tener un montón de estos conjuntos; se puede formar sólo por tomar el casco convexo de un conjunto de puntos invariantes bajo $v \mapsto -v$. Lo que es más relevante en el análisis funcional es la de si el origen de un espacio vectorial topológico contiene una base de balaced barrios. El espacio vectorial topológico es entonces el llamado localmente convexo y esto tiene importantes consecuencias para el espacio (especialmente para su teoría de la dualidad).
Tenga en cuenta que las bolas alrededor del origen en una normativa espacio son automáticamente equilibrada, así normativa de espacios localmente convexos; así que, de nuevo, en la configuración topológica, uno ve que esta es una manera de capturar algunos de los aspectos geométricos de la normativa espacios vectoriales, sin insistir en la existencia de una norma. (Así que, mientras que la normativa de los espacios no son cerradas bajo ciertas operaciones, tales como la formación de infinito directa sumas, localmente convexo espacios --- cualquier suma directa de (sólo para tomar un ejemplo) de una colección de localmente convexo espacios natural localmente convexa de la topología de su propio.)
