¿Cómo integrar esta integral de arcosin?

Question

Cómo integrar

$$\int_a^1 \frac{\arcsin x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx?$$

Esta integral apareció en

Demkov Yu. N., Ostrovsky V. N., Berezina (Avdonina) N. B., "Uniqueness of the Firsov Inversion Method and Focusing Potentials", Sov. JETP 33, 867-70, (1971).

Answer 1

Suponiendo que $a\in(0,1)$ La primera tentación puede ser utilizar el truco de Feynman. Pero hay que tener cuidado ya que el $a$ aparece tanto en el rango de integración como en la función integrante. Así que podemos empezar a preguntarnos por los diferentes enfoques $\ldots$ $$\begin{eqnarray*} I(a) &=& \int_{a}^{1}\frac{\arcsin x}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx \\ &=& \int_{a}^{1}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{(1-z^2)(x^2-a^2)}}\,dz\,dx\\ (z\mapsto xz)\quad&=& \int_{a}^{1}\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{(1-x^2 z^2)(x^2-a^2)}}\,dz\,dx\\(x\mapsto\sqrt{x})\quad &=& \frac{1}{2}\int_{a^2}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x z^2)(x-a^2)}}\,dz\,dx\end{eqnarray*}$$ Ahora es un buen momento para cambiar las integrales. Si integramos con respecto a $x$ por primera vez: $$ I(a) = \int_{0}^{1}\left.\arcsin\sqrt{\frac{1-x z^2}{1-a^2 z^2}}\right|_{x=a^2}^{x=1}\,\frac{dz}{z}$$ y es más fácil calcular $I'(a)$ , ya que ahora $a$ ha desaparecido del rango de integración.
Después de eso, sólo es tedioso comprobarlo: $$ I'(a) = -\frac{\pi a}{2\sqrt{1-a^2}(1+\sqrt{1-a^2})} = \frac{d}{da}\left[\frac{\pi}{2}\log\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)\right]$$ y como $I(0)$ es una famosa integral, igual a $\frac{\pi}{2}\log 2$ obtenemos: $$\boxed{ I(a) = \color{red}{\frac{\pi}{2}\,\log\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)} }$$ como se quería.

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Estaba tratando de explotar la simetría oculta dada por $$ \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{d}{da}\,\arcsin\left(\frac{a}{x}\right)$$ pero no fui capaz de llegar a una conclusión a partir de ahí. Dejo esta observación a integradores más hábiles que yo, podría ser útil. El núcleo de Poisson o la función generadora de los polinomios de Legendre/Chebyshev podrían ser útiles también, y es notable que el resultado final es justo la primera contribución que obtenemos de la integración por partes, a saber $\arcsin(x)\log\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)$ evaluado en $x=1$ .