La solución de $2\cos\left(2\theta\right) = \sqrt{3}$

Question

Tengo una pregunta sobre este problema de la revisión de la prueba (que nos ayudarán en una prueba), y no tengo ni idea de lo que es pedir. Estamos aprendizaje de la trigonometría, (Trigonometría Analítica), como sobre el círculo unidad, funciones trigonométricas inversas, etc... Y me encuentro con este problema en la prueba de revisión:

$$ 2\cos\left(2\theta\right) = \sqrt{3}$$

Sé que las respuestas son: $\left\{\frac{\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{23\pi}{12} \right\} $

Pero quiero saber cómo encontrarlo. Así que prepárate para la prueba. Gracias.

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Después de algunas ideas que tengo algunas pero no Todas!! Así que lo que hice fue:

$ 2\Theta = \cos^{-1} (\frac{\sqrt3}{2} )$

$2\Theta = \frac {\pi}{6}$

$\Theta = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

Así que ahora acabo de añadir 2pi pero tengo que recordar $0 \le \Theta \lt 2\pi$

Obtengo:

$\left\{\frac{\pi}{12}, \frac{13\pi}{12} \right\} $ , Pero que obviamente no es la respuesta.. por Favor ayuda!

Answer 1

Esto se escribe como $\;\cos2\theta=\dfrac{\sqrt 3}2=\cos\dfrac\pi6$. Ahora usted tiene que saber que

• $\cos x=\cos\alpha\iff\theta\equiv\pm\alpha\pmod2\pi$, y del mismo modo:
• $\sin x=\sin \alpha\iff\begin{cases}\theta\equiv\alpha\pmod{2\pi},\\\theta\equiv\pi-\alpha\pmod{2\pi}, \end{casos}$
• $\tan x=\tan\alpha\iff x\equiv\alpha\pmod\pi.$

Así que aquí, usted tiene $$2\theta\equiv \pm\frac\pi6\pmod{2\pi}\iff \theta\equiv\frac\pi{12}\pmod{\pi}$$ Si quieres las soluciones en $[0,2\pi]$, se obtiene $$\theta =\frac\pi{12},-\frac\pi{12}+\pi=\frac{11\pi}{12},\frac\pi{12}+\pi=\frac{13\pi}{12},-\frac\pi{12}+2\pi=\frac{23\pi}{12}.$$

Answer 2

Tal vez incluido en la imagen le ayudará a entender las soluciones.. La figura muestra $\cos \theta$ en el rango $-2 \pi \le \theta \le 2 \pi$. La línea azul es el valor de $\cos \frac{\pi}{12}$ y se puede ver que corta a la curva en cuatro valores en la solicitud de gama. Es difícil hacer las soluciones necesarias (pero que saben ellos de todos modos), pero puede ayudar a entender de suero de leche hay cuatro respuestas.

Answer 3

Me gustaría reforma de la ecuación de $2\cos 2\theta = \sqrt{3}$ a $$\cos 2\theta \ =\frac{\sqrt 3}{2}$$

Por ahora, yo no me preocuparía por la $2\theta$ porque si $\theta$ es un ángulo, entonces también lo es $2\theta$, por lo que mi intermediario estrategia es encontrar a $2\theta$. Más tarde, siempre se puede dividir ese número por 2.

Así que vamos a financiar $2\theta$. Estoy buscando un triángulo que tenga un lado adyacente de $\sqrt 3$ y una hipotenusa de $2$. Si me tomo un triángulo equilátero, un dividió por la mitad, voy a tener un triángulo.

Así que sé que el ángulo que estoy buscando es $30^\circ$ o $\frac{\pi}{6}$ rads. En otras palabras, $2\theta = \frac{\pi}{6}$, solución para $\theta$ tenemos $\theta = \frac{\pi}{12}$.

Ahora que usted tiene su ángulo de referencia todo resuelto, intentar averiguar qué cuadrantes le dará un positivo coseno. Creo que usted encontrará que los ángulos son $\theta = (2\pi)n\pm\frac{\pi}{12}$

Answer 4

tenemos $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}2$. Por lo tanto su ecuación de lee $$ \cos 2\theta = \cos \frac{\pi}{6}$$ a continuación, $$2\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \ \mbox{ or } 2\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \ \ \ \ \ \ (k\in\mathbb{Z})$$ que es $$\theta = \frac{\pi}{12} + k\pi \ \ \mbox{ or } \theta = -\frac{\pi}{12} + k\pi \ \ \ \ \ \ \ (k\in\mathbb{Z})$$

Está claro que hay un número infinito de soluciones que no sólo el 4. (Pero si usted precisa un intervalo adecuado para las soluciones, se puede hacer para tener esas soluciones en tu pregunta )