Parametrizar la elipse como $(a \cos \bullet, b \sin \bullet)$. Tomar los puntos de $P := ( a \cos p, b \sin p)$ $Q := (a \cos q, b \sin q)$ en la elipse, con el punto medio de la $M := (P+Q)/2$.
Si $|PQ| = 2k$, luego
$$a^2 (\cos p - \cos q)^2 + b^2 (\sin p - \sin q)^2 = 4k^2$$
Las coordenadas de $M$
$$\begin{eqnarray*}x &=& \frac{a}{2}(\cos p + \cos q)\\
y &=& \frac{b}{2}(\sin p + \sin q)
\end{eqnarray*}$$
La eliminación de $\cos q$ $\sin q$ (es decir, a través del método de resultantes) a partir de estas coordenadas expresiones que se basan en la $k^2$ ecuación da (salvo errores de transcripción) de la siguiente implícito fórmulas para$x$$y$:
$$\begin{eqnarray*}
0 = x^4 ( a^2 - b^2 )^2 &-& 2 x^3 a ( a^2 - b^2 )( 2 a^2 - b^2 ) \\
&+& x^2 a^2 \left( a^2 b^2 - 2 ( a^2 - b^2 ) k^2 + (a^2-b^2)(6a^2-b^2)\cos^2 p \right) \\
&-& 2 x a^3 \cos p \left( a^2 b^2 + 2 a^2 ( a^2 - b^2 ) \cos^2 p - k^2 ( 2 a^2 - b^2 )\right) \\
&+& a^4 \left( a^2 \cos^2 p - k^2 \right)\left( b^2 - k^2 + ( a^2 - b^2 )\cos^2 p \right) \\
0 = y^4 ( a^2 - b^2 )^2 &-& 2 y^3 b ( a^2 - b^2 )( a^2 - 2b^2 ) \\
&+& y^2 b^2 \left( a^2 b^2 + 2 ( a^2 - b^2 ) k^2 + (a^2-b^2)(a^2-6b^2)\sin^2 p \right) \\
&+& 2 y b^3 \sin p \left( a^2 b^2 - 2 b^2 ( a^2 - b^2)\sin^2 p + k^2 ( a^2 - 2 b^2 )\right) \\
&+& b^4 \left( b^2 \sin^2 p - k^2 \right)\left( a^2 - k^2 - ( a^2 - b^2 )\sin^2 p \right)
\end{eqnarray*}$$
La eliminación de la trigonométricas cantidades a partir de estas ecuaciones se obtiene un monstruo polinomio en $x$$y$. Suponiendo que el 12-mil-factor término es extraño, obtenemos esta implícito en la fórmula para el punto medio de la curva:
$$
b^6 x^4 + a^6 y^4 + x^2 y^2 a^2 b^2 (a^2 + b^2 ) - a^2 b^4 x^2 b^2 - k^2 ) - a^4 b^2 y^2( a^2 - k^2) = 0
$$
Esto ciertamente no parece ser la plantilla para una elipse.
Aquí está la forma polar, con $x = r \cos\theta$$y = r\sin\theta$, después de deducir (y de ignorar a) un $r^2$ que le da un extraño origen-punto:
$$
r^2 = \frac{a^2 b^2 \left( a^2( a^2 - k^2 )\sin^2\theta + b^2 b^2 - k^2 )\cos^2\theta \right)}{\left(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta\right)\left(a^4\sin^2\theta+b^4\cos^2\theta\right)}=\frac{a^2b^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}-\frac{a^2b^2k^2}{a^4\sin^2\theta+b^4\cos^2\theta}
$$
(En la segunda igualdad, tenga en cuenta que el primer término es la fórmula de la elipse original, mientras que el segundo término puede ser considerado como la fórmula para una elipse con eje semi-mayor $ak/b$ y el semi-eje menor $bk/a$; el mayor-menor proporción de este auxiliar de la elipse es el cuadrado de la de la original.)
Aquí podemos ver que la curva está definida cuando $r^2 \geq 0$, por lo que debemos tener
$$
k^2 \leq \frac{a^4 \sin^2\theta + b^4 \cos^2\theta}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}
$$
Observar que en el caso especial $a = b \neq 0$ ( $k\leq a$ ) se reduce a un círculo:
$$
x^2 + y^2 = a^2 - k^2 \hspace{1in} r^2 = a^2 - k^2
$$
... mientras que en el caso especial $k=0$ reduce a la original de la elipse:
$$
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \hspace{1in} r^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta}
$$
Aquí tenéis una imagen de varias curvas de la elipse con $a = 5$ $b = 2$ donde $k$ toma los valores de $0$ (coincidencia de la elipse) a $5$ (solo al origen) en incrementos de $0.5$. El más gordo de la "figura 8" tocando el origen es $k = 2 = b$.
![Ellipse with Chord-Midpoint Curves]()
Nota. (Debo hacer una animación para ilustrar esto.) Imagine $P$ $(5,0)$ $Q$ está en algún lugar en sentido antihorario alrededor de la elipse, haciendo una cuerda de longitud $2k = 2b$. Como $P$ se mueve en sentido antihorario en sí, se empuja $Q$ más a la izquierda, hasta que $Q$ alcance $(-5,0)$, $P$ un poco a la izquierda del eje menor. Finalmente, esperamos que $Q$, para cerrar a la derecha de $P$, pero esto no puede suceder en forma continua con $P$ viajar siempre en sentido antihorario: el $PQ$ acorde tendría que pasar a través de ser vertical, pero la única vertical de la cuerda de longitud $2b$ es el eje menor, mientras que $P$ ya ha pasado ese eje. Por otro lado, si pensamos en $Q$ como arrastrar $P$ detrás de ella, entonces como $Q$ rondas de la curva a izquierdas, nos encontramos con que termina empujando $P$ un poco hacia atrás hasta que la cuerda se alinea con el eje menor en forma continua (poner $M$ en el centro, y pellizcar un lóbulo de nuestra figura-8). Esto es todo bien y bueno, pero como $Q$ continúa en sentido antihorario, remolcadores $P$ a la derecha; como $Q$ rondas el codo derecho, encontramos que es empujar $P$ en la forma en que $P$ estaba empujando $Q$ en el primer escenario. Por consiguiente, no podemos continuamente parcela en el punto medio de la curva en este caso por mover extremo de la cuerda en la misma dirección alrededor de la elipse. Parece que el mismo puede decirse de cualquier $k$ que hace que su curva a curva hacia adentro en los extremos izquierdo y derecho (como ya está sucediendo con $k=1$ en la figura); me pregunto cuál es el umbral en $k$ es para este fenómeno. (Debe ser lo suficientemente fácil de averiguar: encontrar el más pequeño de $k$ de manera tal que la curva tiene una tangente vertical de la línea en un punto con $y\neq 0$.)
Edit. Vamos a hacer frente a la curva de umbral.
La diferenciación de la curva de ecuación nos da esta relación diferencial:
$$
\begin{eqnarray*}
0 &=& b^2 x \left( 2 b^4 x^2 + a^2 ( a^2 + b^2 ) y^2 - a^2 b^2 ( b^2 - k^2 ) \right) \; \mathrm{d}x \\
&+& a^2 y \left( 2 a^4 y^2 + b^2 ( a^2 + b^2 ) x^2 - a^2 b^2 ( a^2 - k^2 ) \right) \; \mathrm{d}y
\end{eqnarray*}
$$
Vamos a tener una tangente vertical de la línea de al $\mathrm{d}x = 0$. Estamos interesados en los casos en que $y \neq 0$, por lo que consideramos $2 a^4 y^2 + b^2 ( a^2 + b^2 ) x^2 - a^2 b^2 ( a^2 - k^2 ) = 0$. El uso de este para eliminar la $x$ a partir de la curva de ecuación nos da las siguientes posibilidades para $y$:
$$
(1)\qquad y^2 = -\frac{b^2(a+k)(ak+b^2)} {(a^2-b^2)} \hspace{1in} (2) \qquad y^2=\frac{b^2(a-k)(ak-b^2)} {(a^2-b^2)}
$$
Las posibilidades en (1) hay posibilidades en todas, ya que (con $a > b$) el lado derecho es siempre negativo; en (2), claramente que requieren $a>k$, nos encontramos con que el lado derecho se convierte en no-negativo ---por lo tanto, que llegamos a nuestro adicionales verticales tangentes--- una vez $k$ se convierte en más de $b^2/a$, la longitud de la elipse de semi-latus recto! (En la figura, que es $2^2/5 = 0.8$, consistente con la curva de la $k=1$ curva y la falta de inflexión en la $k=0.5$ curva.)
(Por cierto, cuando $k=b^2/a$, "auxiliar de elipse" ---mencionó después de la representación polar de la curva de ecuación--- semi-eje mayor $b$.)
Entonces, lo que hemos aprendido aquí es que un latus-recto de longitud (o más corto, pero no más) acorde puede ser empujado continuamente en una dirección alrededor de la circunferencia de una elipse. (Por supuesto, el latus-recto de longitud acorde irá vertical cuando se alinea con una real latus recto; es decir, en cada punto de la elipse a los focos.) Bien!
Sospecho que obtendríamos resultados similares para las hipérbolas y parábolas. También sospecho que esta es una propiedad de cónicas, lo que significa que podría haber un limpiador de derivación de la que yo he dado aquí.
