¿Por qué es el establecimiento de la absoluta consistencia de ZFC imposible? ¿Cuáles son las limitaciones fundamentales que nos prohíben con el venir para arriba con una prueba?
EDIT: Este post parece tener más sentido. En resumen: si nos iban a venir para arriba con una prueba matemática de la consistencia de ZFC, nos gustaría ser capaces de imitar la prueba dentro de ZFC. Ergo, si ZFC es consistente, no puede haber ninguna prueba de que lo es.
Este tipo de pregunta que a menudo incluye varios puntos en común de confusión.
No es un matemático, define formalmente la relación de provability entre un sistema formal y una frase, que define lo que significa la frase "comprobable" en el sistema formal. Esta relación depende tanto de la declaración y el sistema formal. Por otro lado, no existe un concepto estricto de "comprobable", sin referencia a un sistema formal.
Así que en realidad no tiene ningún sentido hablar de una instrucción que se está "improbable", sin referencia a lo que el sistema está haciendo la prueba.
En particular, todo enunciado es demostrable a partir de un sistema formal que ya incluye esa declaración como un axioma. Que es algo trivial - pero incluso si la declaración no es un axioma, es todavía el caso de que la única manera para que una declaración sea comprobable en un sistema en particular es para la declaración de ya ser una consecuencia de los axiomas del sistema. Esto es cierto para la Con(ZFC) y para cada enunciado matemático. Algunas afirmaciones son demostrables a partir de axiomas no en todos - estos son llamados lógicamente válido. Los teoremas de incompletitud de mostrar en un muy fuerte de manera que Con(ZFC) no es lógicamente válido.
Hay un determinado polinomio $P$, con coeficientes enteros, exponentes de números enteros, y muchas variables, por lo que la declaración de la Estafa de(ZFC) puede ser expresada como "no hay ningún número entero positivo de las entradas que hacen que el valor de $P$ a igual a 0". Esta declaración no es especialmente diferente en la forma, por ejemplo, que en el caso especial del último teorema de Fermat: "no hay ningún número entero positivo entradas $x,y,z$ tal que $x^{7}+y^{7}-z^{7} = 0$."
Nadie en serio los reclamos de que la prueba de que el caso especial del último teorema de Fermat es un mero condicional afirmación de que nunca puede ser "absolutamente demostrado" sin suponiendo la consistencia de una teoría. Pero Con(ZFC) no es significativamente diferente de la forma - apenas más largo que el caso especial del último teorema de Fermat. Ambos de estos son sólo declaraciones que algunos multivariable entero polinomio nunca es igual a cero en un número entero positivo entradas.
La situación real es que casi nada puede ser probado "absolutamente". A menos que una afirmación es lógicamente válido, axiomas adicionales serán necesarios para demostrarlo. No hay nada especial acerca de Con(ZFC) al respecto. Cualquier prueba de un no-trivial teorema de siempre dependen de los extra "supuestos", y en un sentido trivial estos supuestos, siempre tiene que ser al menos tan fuerte como el teorema estamos tratando de probar.
Hay muchos, muchos sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos. ZFC es de interés debido a que sus axiomas son muy naturales para motivar y porque es lo suficientemente fuerte como para formalizar la gran mayoría de los teoremas matemáticos. Pero eso no significa que ZFC es de alguna manera un punto de parada. Hay sistemas naturales de la teoría de conjuntos más fuertes de ZFC.
En el ejemplo particular es Morse--Kelley teoría de conjuntos, MK, que fue exposited en el apéndice de Kelley libro de Topología General. Esto es perfectamente razonable del sistema para la teoría de conjuntos, que pasa a probar Con(ZFC). Debemos prestar atención al significado formal de esta: hay un número finito de derivación que no tiene supuestos, además de los axiomas de MK, y que termina con Con(ZFC). Y nota que el MK fue diseñado por un matemático y publicado en libros de texto de matemáticas para matemáticas propósitos.
El argumento en este MathOverflow respuesta incluye una determinada premisa: que todos los "matemáticos" técnicas ya están incluidos en ZFC. Esa es la "Clave de Asunción", en el argumento, que se mencionó en la pregunta anterior.
No es cierto mérito en que la heurística argumento: muchas de las técnicas estándar de matemáticas puede formalizarse en ZFC. La situación no es tan clara como podríamos suponer, sin embargo, debido a ejemplos como los de MK de la teoría de conjuntos, que debe ser definido como "nonmathematical" para el Supuesto Clave para mantener. En el peor de los casos, podríamos encontrarnos haciendo un argumento circular, donde podemos definir "matemática" para ser "formalizable en ZFC" y, a continuación, argumentan que ZFC es capaz de formalizar todos los argumentos matemáticos.
Una pregunta más profunda, que no puede ser contestada porque es ahistórica, es si MK sería considerado una forma más "natural" del sistema si hubiera sido exposited antes de ZFC. Como ZFC, MC se basa en una intuición natural acerca de la naturaleza de los conjuntos y clases, lo que lleva al siguiente punto.
Lo que si no nos fijamos en teorías formales, y sólo hemos de buscar un "matemático" pero informal prueba de la consistencia de ZFC? En realidad, tenemos uno: hay un conocido argumento de que nuestra imagen intuitiva de la jerarquía acumulativa muestra que ZFC es satisfecho por el acumulado de jerarquía, y por lo tanto ZFC no es capaz de demostrar una contradicción. Por supuesto, este argumento se basa en un pre-existentes, de carácter informal, la comprensión de la jerarquía acumulativa. Lo que no todos los matemáticos lo va a aceptar, pero es de interés exactamente porque es muy convincente como informal de un argumento.
Si queremos separar "prueba matemática" de "prueba formal", entonces no es del todo claro por qué este tipo de prueba debe estar fuera de la cuestión. A diferencia de las pruebas, los matemáticos pueden difieren sobre si aceptan esto, informal prueba de Con(ZFC). Pero sin duda es algún tipo de informal "matemática" a prueba de Con(ZFC), si estamos dispuestos a considerar informal pruebas como la matemática.
Realmente deberíamos preguntar por qué alguien estaría interesado en una "absoluta" prueba de consistencia de ZFC. Es de suponer que es porque dudan de que ZFC es consistente, y quieren reforzar su creencia (programa de Hilbert puede ser caricaturizado de esta manera).
En ese caso, tan pronto como vemos a partir de los teoremas de incompletitud de que la consistencia de ZFC no es una lógica de validez, nos condujo naturalmente a otra pregunta: "¿Qué teorías son lo suficientemente fuertes como para demostrar la consistencia de ZFC?" Ha habido un montón de trabajo sobre la cuestión, en la lógica matemática y fundamentos.
Los teoremas de incompletitud parte de la respuesta: no hay teoría que pueda ser interpretado en ZFC puede probar Con(ZFC). Ejemplos como los de MK darle otra parte: no son naturales teorías lo suficientemente fuerte como para probar Con(ZFC). Al final, podemos elegir cualquier sistema formal que nos gusta para cada teorema matemático queremos demostrar. Algunos de los teoremas son comprobable en sistemas que no son capaces de demostrar Con(ZFC), y algunos de los teoremas requieren sistemas que probar Con(ZFC). La separación de los dos grupos de teoremas lleva a cabo una interesante investigación en la teoría de conjuntos y la lógica.
Hay un nivel en el que la respuesta es simplemente "porque resulta que el ser probablemente imposible" en un cierto nivel. No estoy seguro de cuánto de esto puede ser pensado como intuitiva. Gödel Segundo Teorema de la Incompletitud se establece explícitamente que si ZFC puede probar su propia consistencia, entonces es de hecho incompatible. La prueba es muy técnico y se basa en gran medida en la prueba del primer teorema de la incompletitud.
La idea básica es como sigue: Suponga $T$ es un conjunto consistente de axiomas que cumple un determinado criterio (que ZFC). Suponga $T$ es capaz de demostrar su propia consistencia, y deje $P$ ser el improbable declaración en $T$ que dice que "no existe una prueba de $P'$ si y sólo si $P'$ es falso" para algunos declaración de $P'$. La construcción de dicha declaración es factible, con modificaciones menores que el estándar de prueba del primer teorema de la incompletitud (específicamente la introducción de una forma de codificar "P es demostrable" en el idioma de $T$). $T$ se puede demostrar la declaración "$P$ no es demostrable" desde $T$ puede probar su propia consistencia, y $T$ puede demostrar que "$P$ no es demostrable" es equivalente a $P$ sí! Por lo tanto, $T$ puede ser $P$, contradicción.
Si hay un más potente conjunto de axiomas matemáticos acordado, entonces los axiomas podría ser capaz de demostrar que ZFC es consistente, pero hay dos problemas. En primer lugar, la de Gödel Segundo Teorema se aplica a todos los sistemas lo suficientemente fuerte como para demostrar la consistencia de ZFC, así que no hay ningún sistema axiomático capaz de probar su propia consistencia y que de ZFC. Segundo, no se acordó más potente conjunto de axiomas de todos modos (aunque se podría argumentar que "ZFC más la consistencia de ZFC" es algo que la mayoría de los matemáticos supongo). Si estamos de acuerdo en algunos de estos axiomática del sistema, podríamos probar que ZFC era constante, pero sólo en el marco de un sistema más grande, cuya consistencia no podemos demostrar, lo que pone en duda nuestra prueba de la consistencia de ZFC.
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