Demostrando $x \ln^2 x - (x-1)^2<0$ todos los $x\in(0,1)$

Question

Quiero demostrar que para todos los $x\in(0,1)$,$$f(x):=x \ln^2 x - (x-1)^2<0$$ El uso de la derivada ($f'(x)=-2x+\ln^2 x+2\ln x +2$), traté de demostrar que $f$ es monótonamente creciente en $(0,1)$, y, a continuación, utilice el hecho de que $f(1)=0$, pero me parece que el propio derivado complicado. Alguna sugerencia?

Answer 1

Con el cambio de variable $x=e^{-t}$ la desigualdad resulta ser equivalente a: $$ \forall t\in\mathbb{R}^+,\qquad t^2 e^{-t} \leq (1-e^{-t})^2 $$ o a: $$ \forall t\in\mathbb{R}^+,\qquad t^2 \leq (2\sinh(t/2))^2 $$ pero: $$ \forall t\in\mathbb{R}^+, \qquad 2\sinh\frac{t}{2}\geq t $$ es trivial desde $\sinh(y)$ es convexa $y>0$.

Answer 2

$f(x)=x\ln^2x-(x-1)^2$. Entonces, tenemos $$f'(x)=\ln^2x+2\ln x-2(x-1)$$ $$f''(x)=\frac{2\ln x}{x}+\frac 2x-2=\frac{2(\ln x+1-x)}{x}$$ Ahora vamos a $g(x)=\ln x+1-x$. Entonces, tenemos $$g'(x)=\frac 1x-1=\frac{1-x}{x}\gt 0.$$ Por lo tanto, $g(x)$ es estrictamente creciente para $0\lt x \lt 1$, y con $g(1)=0$, sabemos que $g(x)\lt 0$$0\lt x\lt 1$. Por lo tanto, sabemos que $f''(x)\lt 0$. De ello se desprende que $f'(x)$ es estrictamente decreciente, y con $f'(1)=0$, sabemos que $f'(x)\gt 0$$0\lt x\lt 1$.

Por lo tanto, sabemos que $f(x)$ es estrictamente creciente para $0\lt x\lt 1$, y con $f(1)=0$, sabemos que $f(x)\lt 0$$0\lt x\lt 1$.