¿Qué $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ de media con respecto a la relatividad especial?

Question

¿Qué significa la siguiente media con respecto a la relatividad especial?

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Answer 1

Colin su respuesta es correcta. Si usted se está preguntando por qué está en esa forma rara, tiene que ver con un postulado fundamental de la teoría especial de la relatividad.

En 2D, dicen que te dan el punto final de una línea que usted sabe que se inicia en el origen, y usted quiere encontrar su longitud. De acuerdo con el diagrama de abajo, si te dan un vector en $xy$ coordenadas, $(a, b)$ (representado por la línea roja), se puede mirar en un sistema de coordenadas arbitrario mediante la rotación de su cabeza, pero físicamente, la longitud de la flecha debe permanecer sin cambios. Si las coordenadas en este otro sistema de coordenadas se $(c,d)$, podemos frase esto con el teorema de pitágoras: $a^2+b^2=c^2+d^2=\mbox{distance}$

Si tenemos un especial sistema de coordenadas dibujado, $x'y'$, $d=0$ y sólo tenemos $a^2+b^2=c^2$. En este nuevo marco, su longitud es de sólo la posición de un eje.

En la relatividad, tenemos uno de los ejes de $ct$ (donde $c$ es la velocidad de la luz), y otro de los ejes $x$. $ct$ y $x$ se miden en metros. En lugar de una distancia Euclidiana relación, el factor que se mantiene sin cambios a partir de "rotaciones" es $(ct)^2-x^2$. Este es el quid de la relatividad. Esto significa que usted puede "rotar" el espacio en el tiempo y viceversa.

En un marco, la partícula puede tener una velocidad constante, por lo $x=v t$, y la ley es la conservación de $(ct)^2-(v t)^2=(c^2-v^2)t^2$. Si elegimos una imprimación marco de referencia de modo que la velocidad es cero, entonces debemos tener $(c^2-v^2)t^2=(ct')^2$. Con algunos de álgebra nos encontramos con que esta ecuación implica que $$t=t' \frac{1}{\sqrt{1-\left( \frac{v}{c}\right)^2 }}$$

Esto se escribe como $t=\gamma t'$. Todo eso es producto de la invariancia de $(ct)^2-x^2$. Usted puede hacer análogo cosas cuando se habla de $x$$x'$.

Answer 2

Este es llamado el factor de Lorentz, y generalmente se denota por el símbolo $\gamma$. El factor de Lorentz se muestra en las fórmulas para la transformación de Lorentz y las expresiones para relativista de masa, momentum y energía. También aparece en las ecuaciones que describen cómo los campos electromagnéticos de transformación, debido al movimiento de un observador.

Esto significa que el comportamiento inusual debido a la relatividad especial aumenta a medida que aumenta la velocidad. Como $v\rightarrow c, v/c \rightarrow 1$, lo $\gamma \rightarrow \infty$. Así que todos estos efectos aumentan sin enlazado como la velocidad de los enfoques $c$. Que es, como la de un observador de velocidad enfoques $c$ en relación a su entorno, se podrá observar la longitud de otros objetos para reducir a cero, el tiempo de otros objetos de permanecer quieto, otros objetos con cualquier masa a todos los que han infinito de masa, energía y momentum. Dos de las consecuencias de todo lo que es ese $c$ es un universal de límite de velocidad, y que todos los observadores están de acuerdo en el valor de $c$.

Answer 3

Puedo volver a usar un viejo post en el blog!

Rindler muestra[2] la mejor manera para obtener el relativista de Lorentz contracción/dilatación del tiempo factor, gamma, (de la paradoja de los gemelos de la fama), a partir de las cuatro de la velocidad! He estado trabajando a través de Rindler del papel en movimiento hiperbólico como resultado de la aceleración constante[1] últimamente.

A partir de la constancia de la velocidad de la luz, la teoría de Einstein de la relatividad especial de einstein postuló, y Minkowski refinado de la idea de que el universo es en realidad de cuatro dimensiones con el espacio y el tiempo sentado en un pie de igualdad. A partir de aquí, podemos escribir una expresión para la distancia al cuadrado a lo largo de un infinitesimal de la línea de elemento en cuatro dimensiones, (creo teorema de Pitágoras)...

$ds^2 = c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$

$=c^2dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)$

Brian Greene popularizó la idea de las cuatro de la velocidad[3] en uno de sus libros, y aunque no es mencionado tanto como algunos de los otros aspectos de especial rel, es una idea simple. Todo se está moviendo a la velocidad de la luz. Algo más de velocidad punta en cualquiera de las dimensiones del espacio, o la dimensión de tiempo, pero al final del día, sus cuatro dimensiones de la velocidad es igual a la velocidad de la luz, c. Así que, vamos a escribir el infinitesimal distancia a lo largo de las cuatro dimensiones de la línea dividida por una cantidad infinitesimal de tiempo de la velocidad

$\frac{ds^2}{d\tau^2} = c^2$

que puede ser reorganizado para dar

$d\tau^2 = \frac{ds^2}{c^2} = dt^2-\frac{1}{c^2}(dx^2+dy^2+dz^2)$

A partir de aquí, todo Rindler. El Factor de incremento de tiempo de espera de la expresión anterior

$dt^2-\frac{1}{c^2}\frac{(dx^2+dy^2+dz^2)}{dt^2} = dt^2\left(1-\frac{1}{c^2}\frac{(dx^2+dy^2+dz^2)}{dt^2}\right) $

En este punto, la velocidad, la distancia a lo largo del tiempo), el cuadrado está sentado en el segundo plazo, de modo que podemos escribir

$dt^2\left(1-\frac{1}{c^2}\frac{(dx^2+dy^2+dz^2)}{dt^2}\right) = dt^2\left(1-\frac{1}{c^2}v^2\right) $

Lo que nos deja con

$dt^2\left(1-\frac{1}{c^2}v^2\right) $

$d\tau = dt\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}$

Que se pueden cambiar una vez más para dar

$dt = \frac{d\tau}{\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}} = \gamma d\tau$

Que es la fórmula de la dilatación del tiempo (el tiempo en el bastidor móvil es igual a gamma veces el tiempo en el marco del resto), por lo que

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}}$

y ¡listo!... o somos nosotros?

Si seguimos mirando a $\gamma$, se podría estar tentado a hacer más con él que acaba de citar Rinler de la derivación

Podemos escribir: $\gamma = \frac{1}{\frac{1}{c}\sqrt{c^2-v^2}} = \frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}$,

que nadie en la escuela secundaria trig pensaría que parecía un montón de cosas, como un seno o coseno, excepto por el signo menos en el denominador. Por trigonometría hiperbólica, que sería lo correcto. La longitud de la hipotenusa en trigonometría hiperbólica es el lado adyacente al cuadrado menos el lado opuesto al cuadrado. Puesto que la expresión para la hyptoenuse es assymetric, sabemos que estamos tratando con el lado adyacente sobre la hipotenusa, la esclerosis lateral amiotrófica, conocida como el coseno hiperbólico, por lo que

$\gamma = cosh(\phi)$,

También puede que observe que podemos escribir

$\frac{v}{\sqrt{c^2 - v^2}} = sinh(\phi)$

y nos habría llegado a los dos componentes de las cuatro de la velocidad. Hemos demostrado que la rapidez angular puede ser utilizado para el proyecto de la invariante de la velocidad c de un proyectil en su tiempo y en el espacio de velocidades, $\frac{dt}{d\tau}$$\frac{dx}{d\tau}$.

Notas Históricas Hiperbólico de la velocidad de los ángulos fueron nombrados disponibles en varias velocidades por Alfred Robb en un folleto que publicó en 1911. Lo que la anterior notación de puntos de fuera es algo que Minkowski hincapié sólo en su primera conferencia sobre el espacio-tiempo. Las velocidades de todas las partículas de la relatividad especial son constantes en el valor de c. Este punto de vista fue desarrollado aún más por Sommerfeld que explícitamente señaló que la adición disponibles en varias velocidades en más de una dimensión era análoga a la adición de ángulos en una esfera, y que asciende a realizar esférica de la trigonometría hiperbólica. Karapetoff construido el mismo conjunto de hiperbólico fórmulas, pero no menciona la forma esférica de la naturaleza de los cuatro geometría del espacio. Al mejor de mi conocimiento el concepto de la hiperbólico la velocidad de la esfera iría en gran parte desconocido y sin mencionar hasta Brehme y/o Adler revivió en la década de 1960.

Referencias

1. http://dx.doi.org/10.1103%2FPhysRev.119.2082 Rindler W. (1960). Hiperbólico de Movimiento en Curva el Espacio Tiempo, la Revisión, 119 (6) 2082-2089. DOI: 10.1103/PhysRev.119.2082

2. La Relatividad especial por Wolfgang Rindler http://books.google.com/books?id=8kqBAAAAIAAJ

3. En cuatro de velocidad http://copaseticflow.blogspot.com/2013/02/spheres-special-relativity-and-rotations.html

4. Robb en la Rapidez https://archive.org/details/opticalgeometryo00robbrich

Answer 4

El (número real) de la expresión de $\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$, o su inverso, surge en la TER al intentar establecer comparaciones entre dos (diferentes) de los sistemas inerciales, es decir, si los miembros de uno está en movimiento con respecto a los miembros de los otros, recto y uniforme, mutuamente con velocidad de $v := \beta ~ c$.

Mi favorito de derivación:
Vamos $A$, $B$ y $F$ ser miembros de un sistema inercial, es decir, de a pares en el resto a los otros; y (en ese orden) directamente a cada uno de los otros, es decir, tales que su distancia ratios de satisfacer

$ \frac{AB}{AF} + \frac{BF}{AF} = 1 $.

Vamos $J$, $K$ y $Q$ ser miembros de un sistema inercial, es decir, de a pares en reposo el uno al otro; también (en ese orden) directamente a cada uno de los otros, es decir, tales que su distancia ratios de satisfacer

$ \frac{JK}{JQ} + \frac{KQ}{JQ} = 1 $;

tales que cada uno de $J$, $K$ y $Q$ están pasando por $A$, $B$ y $F$ (en ese orden) a lo largo del curso de án experimento, y viceversa cada uno de $A$, $B$ y $F$ están pasando por $Q$, $K$ y $J$ (en ese orden); más

• $F$ $Q$ fueron pasando unos a otros en coincidencia con la observación de que $A$ $K$ habían pasado unos a otros,

• $B$'s la indicación de haber sido aprobada por $K$ fue simultánea a $F$'s la indicación de haber sido aprobada por $Q$ (y la observación de que $A$ $K$ habían pasado unos a otros),

• $J$'s la indicación de haber sido aprobada por $A$ fue simultánea a $Q$'s la indicación de haber sido aprobada por $F$ (y la observación de que $A$ $K$ habían pasado unos a otros),

y, por último, en consonancia con el resto de las condiciones arriba)

$ \frac{AB}{AF} = \frac{JK}{KQ} := \beta $.

Por lo tanto $\frac{BF}{AF} = 1 - \frac{AB}{AF} = 1 - \beta$ y $\frac{JQ}{KQ} = 1 + \frac{JK}{KQ} = 1 + \beta$.

Teniendo en cuenta los dos requisitos explícitos de simultaneidad por encima de los correspondientes coeficientes de distancias deben ser iguales:

$\frac{BF}{KQ} = \frac{JQ}{AF}$.

La inserción de expresiones de arriba:

$\frac{BF}{KQ} = \frac{JQ}{AF} = \frac{JQ}{KQ} \frac{KQ}{BF} \frac{BF}{AF} = (1 + \beta) \frac{KQ}{BF} (1 - \beta) = \frac{KQ}{BF} (1 - \beta^2) = \sqrt{ 1 - \beta^2 }$.

(Esta relación entre las distancias, de los participantes en el se describe la configuración, también se denomina "longitud de contracción".)

En consecuencia también: $\frac{KQ}{AF} = \frac{KQ}{BF} \frac{BF}{AF} = \frac{1 - \beta}{ \sqrt{ 1 - \beta^2 }} = \sqrt{ \frac{1 - \beta}{1 + \beta} }$.

Tras el experimento aún más, hasta que $A$ a su vez se observó que $F$ $Q$ había estado pasando unos a otros, en coincidencia con el pasar de los $H$ por lo tanto

$\frac{KQ}{AF} + \frac{HQ}{AF} = \sqrt{ \frac{1 - \beta}{1 + \beta} } + \sqrt{ \frac{1 + \beta}{1 - \beta} } = \frac{2}{\sqrt{ 1 - \beta^2 }}$.

La sustitución de la definición de la "distancia" como "$c/2$ Ping duración" por lo tanto

$\frac{KQ}{AF} + \frac{HQ}{AF} := \frac{c/2 ~ \tau K_{\text{ping} Q}}{c/2 ~ \tau A_{\text{ping} F}} + \frac{c/2 ~ \tau H_{\text{ping} Q}}{c/2 ~ \tau A_{\text{ping} F}} = \frac{\tau K_{\text{ping} Q} + \tau H_{\text{ping} Q}}{\tau A_{\text{ping} F}} = 2 \frac{\tau K[ \circ_A, \circledS H_A ]}{\tau A[\circ_K, \circ_H ]}$

donde $\tau K[ \circ_A, \circledS H_A ]$ denota la duración de $K$ a partir de la indicación de haber sido aprobada por $A$ hasta que la indicación simultánea a $H$'s la indicación de haber sido aprobada por Una,
y $\tau A[\circ_K, \circ_H ]$ denota la duración de $A$ a partir de la indicación de haber sido aprobada por $K$ hasta que la indicación de haber sido aprobada por $H$. La comparación de las dos últimas ecuaciones rendimientos
$\frac{\tau K[ \circ_A, \circledS H_A ]}{\tau A[\circ_K, \circ_H ]} = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \beta^2 }}$.

(Esta relación entre las duraciones de los participantes en el se describe la configuración, es también llamado especial, básica el caso de la "dilatación del tiempo".)

Dos puntos a destacar (también con respecto a otras respuestas presentadas ya):

• la derivación como se muestra es independiente de cualquier (posterior) de la asignación de coordenadas a los participantes involucrados, o a sus indicaciones; y

• con $\frac{KQ}{HK} + \frac{HQ}{HK} = \frac{1}{\beta}$ sigue

$\left(\frac{\tau A[\circ_K, \circ_H ]}{\tau K[ \circ_A, \circledS H_A ]}\right)^2 = 1 - \left(1 / (\frac{KQ}{HK} + \frac{HQ}{HK}) \right)^2$,

o (formalmente)

$\left(c ~ \tau A[\circ_K, \circ_H ]\right)^2 = \left(c ~ \tau K[ \circ_A, \circledS H_A ]\right)^2 - HK^2$

como resultado (en lugar de ser utilizado, o incluso que se requieren como entrada de la derivación).