simple pregunta acerca de la función de prueba ( Espacios de Sobolev )

Question

Deje $\Omega \subset R^n$ un conjunto abierto. Deje ${\Omega}^{'} \subset \Omega$ un subconjunto abierto de $R^n$. Supongamos que $\overline{{\Omega}^{'}}$ es un subconjunto compacto de ${\Omega}$. Deje $\varphi \in C^{\infty}_{0} ({\Omega}^{'} )$.

Si defino $\tilde{\varphi}$ por las ecuaciones $\tilde{\varphi} (x) = 0$ si $x \in \Omega - {\Omega}^{'}$ $\tilde{\varphi} (x) = {\varphi} (x)$ si $ x \in {\Omega}^{'} $ , es cierto que $\tilde{\varphi} \in C^{\infty}_{0} ({\Omega}) ?$ . Creo que la afirmación es verdadera porque la distancia de los conjuntos de ${\Omega}$ ${\Omega}^{'} $ es positivo ( es positivo debido a que ${\Omega}$ es abierto y $\overline{{\Omega}^{'}}$ es compacto ).

Alguien me puede dar una pista ?

Gracias !

Answer 1

Que el apoyo de $\tilde{\phi}$ es un conjunto compacto contenido en $\Omega$ es trivial. Vamos a demostrar que $\tilde{\phi}$$C^\infty$. Si $x\in \Omega\setminus\overline{\Omega'}$, entonces usted puede encontrar un barrio de $V$ $x$ tal que $\phi=0$$V$, por lo tanto $\phi$$C^\infty$$\Omega\setminus\overline{\Omega'}$. Si $x\in \partial\Omega'$, luego nos rembember que, por definición, existe una vecindad $U$ (un barrio en $\Omega'$, debido a $\phi\in C_0^\infty(\Omega'))$ $\partial\Omega'$ tal que $\phi(x)=0$ si $x\in U$, por lo tanto, el mismo argumento se aplica.