Por qué cotizamos por homotopía de cadena en la categoría derivada.

Question

Dejemos que $\mathcal A$ sea una categoría abeliana. Para definir la categoría derivada ${\tt D}(\mathcal A)$ de $\mathcal A$ tomamos la categoría ${\tt Ch}(\mathcal A)$ de complejos de cadenas en $\mathcal A$ , cotizando los mapas homotópicos nulos para obtener ${\tt K}(\mathcal A)$ y luego invertir los cuasi isomorfismos para obtener ${\tt D}(\mathcal A)$ . En esta definición, ¿por qué molestarse en pasar por ${\tt K}(\mathcal A)$ ?

Si parte del propósito es que estamos interesados en la homología de estos complejos más que en el complejo específico que representa esa homología, parece extraño cotizarse sólo por homotopías nulas. ¿Por qué no hacer el cociente por todos los mapas que inducen $0$ en la homología (que puede ser estrictamente más que los nulos-homotópicos)? O, si ese no es el propósito, ¿por qué hacer un cociente por ellos? ¿Por qué no invertir simplemente los cuasi-isomorfismos en ${\tt Ch}(\mathcal A)$ ?

Answer 1

Podrías invertir los cuasi-isomorfismos directamente. El problema es que si se invierte una clase general de morfismos en una categoría arbitraria, se tiene muy poco control sobre el aspecto de los morfismos en la categoría localizada. Por ejemplo, el diagrama

$$ A = B_0 \rightarrow B'_1 \leftarrow B_1 \rightarrow B'_2 \leftarrow B_2 \rightarrow \dotsb B'_n \leftarrow B_n = B$$

en alguna categoría ${\cal C}$ define un morfismo $A \to B$ en la categoría localizada donde cada mapa $B'_i \leftarrow B_i$ está invertido. Tener que lidiar con este tipo de diagramas todo el tiempo sería súper molesto.

Resulta que los cuasi-isomorfismos en la categoría de homotopía satisfacen las "condiciones de Ore" (y cualquier introducción a la categoría derivada te dirá exactamente cuáles son estas condiciones, así que no me molestaré en enumerarlas aquí). Estas condiciones te dicen que, una vez que localizas y pasas a la categoría derivada, todos tus morfismos $A \to B$ en ${\bf D}({\cal A})$ será de la forma

$$A \rightarrow B' \leftarrow B$$

donde $A \to B'$ es un mapa en la categoría de homotopía ${\bf K}({\cal A})$ y $B' \leftarrow B$ es un cuasi-isomorfismo. Saber esto hace que los morfismos en ${\bf D}({\cal A})$ mucho más fácil de tratar. Los cuasi-isomorfismos no satisfacen estas condiciones de Ore en la categoría de complejos, por lo que sin pensar en la categoría de homotopía como paso intermedio, sería difícil saber cuáles son los morfismos en ${\bf D}({\cal A})$ parecer.

Por cierto, mi introducción favorita a la categoría derivada son las notas de Haiman aquí: math.berkeley.edu/~mhaiman/math256/Derived-Cat-1-5.pdf .

Answer 2

Creo que el punto es la estructura triangulada en $K(\mathcal{A})$ . Se puede obtener $D(\mathcal{A})$ directamente localizando $Ch(\mathcal{A})$ con respecto a la familia de todos los cuasi-isomorfismos, ya que la familia de todos los cuasi-isomorfismos en $Ch(\mathcal{A})$ satisface los axiomas para un sistema multiplicativo cerrado. Pero entonces es difícil encontrar una estructura triangulada de esta manera. Nótese que hay una conexión entre las secuencias exactas cortas en $Ch(\mathcal{A})$ y triángulos distinguidos (triángulos estándar) en ${D}(\mathcal{A})$ que ayuda mucho. Y no conozco ninguna otra herramienta, excepto los triángulos distinguidos en una categoría derivada, con la que se pueda trabajar.