Cómo puedo probar esta fórmula? $\cdots=\sqrt{\frac{e\pi}2}$

Question

He encontrado en el libro de Aventuras Arithmétiques escrito por Frédéric Laroche esta fórmula:

$$1+\frac 1{1\cdot 3}+\frac 1{1\cdot 3\cdot 5}+\cdots+\frac 1{1+\frac 1{1+\frac 2{1+\frac 3{1+\cdots}}}}=\sqrt{\frac{e\pi}2}.$$

Tal vez de una manera más explícita, la primera parte de esta fórmula es:

$$\sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=0}^k (2j+1)\right)^{-1}.$$

Lo que no me gusta es que esta fórmula (hermoso en mi opinión) está escrito sin ninguna prueba ni referencia.

• ¿Tienes una idea acerca de cómo probar un resultado?

• ¿Conoce usted a un libro que da la prueba de esta fórmula?

Answer 1

$$S= 1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\ldots = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)!!}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n n!}{(2n+1)!} $$ puede ser por escrito (a través de la función Beta de Euler) como $$ S = \sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{n!}B(n+1,n+1) = \int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}\frac{(2x(1-x))^n}{n!}\,dx $$ o como: $$ S = \int_{-1/2}^{1/2}\exp\left[\frac{1}{2}-2x^2\right]\,dx. $$ La parte restante de la siguiente manera a partir de la conocida continuó fracción de expansión para la (complementario) función de error: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{z}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx = \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{1}{z+\frac{1}{z+\frac{2}{z+\frac{3}{\ldots}}}}$$