Factor/regla de vértice QED

Question

En la página 303 de Peskin&Schroeder dan el factor de vértice como

$$V = -ie\gamma^\mu \int d^4x$$

mientras que en la página 304 escriben

$$V_\times = -ie\gamma^\mu\int d^4x A_\mu(x).$$

¿Por qué los diagramas son pictóricamente diferentes (uno de ellos tiene la graciosa cruz al final de la línea del fotón)? ¿Por qué el campo gauge aparece en $V_\times$ y no en $V$ ? ¿Son $V$ y $V_\times$ ¿Idéntico?

Answer 1

En el primer caso, el vértice es un vértice en el sentido común (utilizado para construir diagramas).

En el segundo caso, el campo gauge no es dinámico (en una formulación de integral de trayectoria, no se integra sobre), es un campo de fondo que está fijo. En ese caso, nos interesa el efecto de este campo no dinámico sobre el campo de los electrones. Esto es útil para estudiar, por ejemplo, la probabilidad de crear pares electrón-positrón a partir del vacío cuando hay un campo eléctrico (muy) fuerte (impuesto por el exterior, digamos, los experimentadores en el laboratorio).

EDITAR:

Para ser más técnicos en el segundo caso (el campo no dinámico): veamos la función de partición $$Z[\tilde A]=\int D\psi e^{i S_0[\psi]+i S_A[\psi]}, $$ donde $S_0$ es la acción estándar del fermión libre, y $$S_\tilde A[\psi]=-e\int d^4 x \tilde A_\mu\bar\psi\gamma^\mu \psi.$$ Obsérvese que no integramos sobre $\tilde A_\mu$ en la integral funcional. Sin embargo, al introducir $S_\tilde A[\psi]$ implica que hay que utilizar un nuevo vértice para calcular la función de partición, denotado por esta línea ondulada con el círculo cruzado en la pregunta del OP.

¿Qué sentido tiene? En primer lugar, vemos que $\tilde A_\mu$ se acopla a los fermiones como un campo habitual de E&M. Por lo tanto, si el sistema que queremos describir está dado por algunos fermiones en un campo E&M clásico, podemos modelizarlo usando esto $\tilde A_\mu$ (la suposición aquí es que los efectos de los fermiones en la E&M son despreciables). En segundo lugar, al derivar $\ln Z$ con respecto a $\tilde A_\mu$ podemos calcular las funciones de correlación de la corriente. En este caso, $\tilde A_\mu$ juega el papel de un término de origen.

Si el campo de E&M es dinámico, tenemos que integrar sobre y ahora $$Z=\int D\psi DA e^{iS[\psi,A]}$$ donde $$S[\psi,A]=\int d^4x\left( \bar\psi \big(i\gamma^\mu(\partial_\mu+ie A_\mu)-m \big)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu,\nu}F^{\mu,\nu}\right).$$ Ahora integramos sobre $\psi$ y $A$ (sin ~) y la función de partición no depende de ninguna fuente. $A$ desempeña el papel de un fotón dinámico, con su propio propagador y ahora existe la interacción de vértice estándar.