Podría alguien por favor me ayude a contestar esta pregunta? Utilizando el subgrupo de prueba se comprobó que un subgrupo $H$ $\le $ $\mathbb{Z}$ es necesariamente de la forma ${n}$ $\bullet$ $\mathbb{Z}$ para algunos n $\ge$ $0$.
Respuestas
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medicine28
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mhost
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389
Suponga $a$ es el menor elemento no nulo del subgrupo A(siempre podemos elegir la más pequeña(por qué?)).
A continuación, considere la posibilidad de cualquier elemento $x\in A$, $\exists n,r\in\Bbb Z$ tal que $x=na+r$ donde $0\leq r\lt a$(división de algo.)
Pero entonces, $r=x-na\in A$$r\lt a$, lo que contradice que $a$ es el menor elemento no nulo a menos que $r=0$ sí mismo que da a $x=na$ donde $n\in\Bbb Z,x\in A$
Math Gems
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14842
Sugerencia $\ $ De Euclides, un subconjunto no vacío $\rm\,S\subseteq \Bbb Z$ cerrado bajo la resta es cerrado bajo mod tan cerrado bajo la dpc. Por lo tanto el menos positivo $\rm\,d\in S\,$ divide cada $\rm\,n\in S\:$ ($\rm\:gcd(d,n) < d).$
Comentario $\ $ Uno puede saltar el intermedio "cerrado bajo mod" si uno está familiarizado con el "subtractive" la forma del algoritmo de Euclides, que calcula el mcd repetidamente restando el número entero más pequeño al mayor. Entonces es claro que los subgrupos, siendo cerrado bajo la resta, también son cerrados bajo el mcd de operación.
PJ_
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8
$\quad$$\mathbb{G}$ = { $\mathbb {na}$ : $\mathbb{n}$ $\in$ $\mathbb{Z}$} = $\lt$ $\mathbb{a}$$\gt$
Vamos $g_1$ $\in$ $\mathbb{G}$
Ahora quiere demostrar que $g_1$ está en { $\mathbb {na}$ : $\mathbb{n}$ $\in$ $\mathbb{Z}$}
$\qquad$ $g_1$ = $\mathbb{k\cdot a}$ + $\mathbb{r}$ $\qquad$ $\mathbb{a}$ $\gt$ $\mathbb{r}$ $\ge$ 0
$\qquad$$\qquad$$\mathbb{r}$ = $g_1$ - $\mathbb{k\cdot a}$ $\qquad$( $\mathbb{r}$ $\in$ $\mathbb{G}$ )
por lo tanto, se encontró que $\quad$$\mathbb{r}$ = 0
$\qquad$$\qquad$ $g_1$ = $\mathbb{k\cdot a}$
por lo tanto esto completa la prueba
