Si $K/k$ es un finita de Galois de la extensión de los campos de número y $\kappa\in H^2(K/k,\mathbb{G}_m)=H^2(\mathrm{Gal}(K/k),K^\times)$, a continuación, para cada uno de los prime $v$$k$, sobre la elección de un primer $w$ $K$ sobre $v$, obtener un plano de localización $H^2(K/k,\mathbb{G}_m)\rightarrow H^2(K_w/k_v,\mathbb{G}_m)$. Hacer esto para cada lugar de $k$ da un mapa de $\beta:H^2(K/k,\mathbb{G}_m)\rightarrow\prod_vH^2(K_w/k_v,\mathbb{G}_m)$ (esto requiere la elección de un lugar por encima de cada una de las $v$).
Mi pregunta: ¿hay una razón obvia de que la imagen de $\beta$ está contenida en la suma directa de los locales cohomology grupos? Reescribirse de manera diferente: es una clase global con coeficientes en el grupo multiplicativo localmente trivial en casi todas partes?
Sé que la imagen de $\beta$ está contenida en la suma directa porque si $I_K$ es el idele grupo de $K$, luego por consideraciones con Shapiro del lexema y algunos cohomological resultados de la local de campo de la clase de teoría (específicamente de la desaparición de la cohomology de las unidades por un unramified extensión), se pone en $H^2(K/k,I_K)\cong\sum_vH^2(K_w/k_v,\mathbb{G}_m)$, y el compuesto $H^2(K/k,\mathbb{G}_m)\rightarrow H^2(K/k,I_K)\rightarrow\sum_vH^2(K_w/k_v,\mathbb{G}_m)$, donde el primer mapa que viene por la incrustación de $K$ a $I_K$ en diagonal, es $\beta$. Me pregunto si hay una manera más fácil.
Pasando el límite sobre todos los finita de Galois extensiones, se obtiene el correspondiente localmente trivial en casi todas partes el resultado de $H^2(\bar{k}/k,\mathbf{G}_m)$, que es lo que realmente me importa. Sé que este resultado puede ser demostrado mediante la identificación de $H^2$ con el grupo de Brauer de $k$, e invocando el hecho de que una central de simple álgebra $k$ se divide casi en todas partes (hay que admitir que no sé mucho acerca de este punto de vista, así que no sé lo duro que es este hecho). No estoy seguro de cómo describir qué tipo de argumento que estoy buscando, y es muy posible que se me haya olvidado fácil. Yo estoy esperando para utilizar sólo datos básicos acerca de Galois cohomology. Supongo que tengo en mente algo así como demostrar que una clase en $H^1(\bar{k}/k,A)$ es localmente unramified en casi todas partes por una discreta $\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)$-módulo de $A$, que sólo utiliza el hecho de que cualquier clase viene de $H^1$ de un finita de Galois de la extensión, que es unramified fuera un número finito de lugares.
Gracias!
