Prob. 8, Sec. 3.5 en Introductory Functoinal Anlaysis With Applications de Erwin Kreyszig

Question

Introducción a la Anlaysis Funcional con Aplicaciones de Erwin Kreyszig

Prob. 8, Sec. 3.5

$\DeclareMathOperator{\span}{span}$ Dejemos que $(e_k)$ sea una secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert $H$ y que $M = \span (e_k)$ . Sea $x \in H$ .

Si $$x = \sum_{k=1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k,$$ entonces $x \in \overline{\span(e_k)}$ porque en este caso la secuencia $(s_n)$ sur $\span(e_k)$ , donde $s_n = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k$ converge a $x$ .

¿Cómo mostrar lo contrario?

Es decir, cómo demostrar que si $x \in \overline{\span(e_k)}$ , entonces la serie $\sum_{k=1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k$ converge (en la norma inducida por el producto interior sobre $H$ ) y tiene la suma $x$ ?

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Mi esfuerzo:

Supongamos que $x \in \overline{\span(e_k)}$ . Entonces hay una secuencia $(x_n)$ sur $\span(e_k)$ que converge a $x$ . Sea $x_n = \sum_{k=1}^{m_n} \alpha_{nk} e_k$ para cada $n= 1, 2, 3, \ldots$ , donde $\alpha_{nk}$ son escalares y el $m_n$ son números naturales.

Entonces, utilizando la ortonormalidad de la $e_k$ podemos concluir que $\alpha_{nk} = \langle x_n, e_k \rangle$ para cada $n=1, 2, 3, \ldots$ y para cada $k= 1, \ldots, m_n$ . Así que $$x_n = \sum_{k=1}^{m_n} \langle x_n, e_k \rangle e_k. $$

¿Y ahora qué?

¿Podemos decir lo siguiente?

Para cada fijo $k$ , $$\langle x_n, e_k \rangle \to \langle x, e_k \rangle \ \mbox{ as } \ n \to \infty. $$

Cómo demostrar que $$x = \sum_{k=1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k?$$

También sé que la serie $\sum \langle x, e_k \rangle e_k$ converge.

Answer 1

Una pista: Obsérvese que, con la norma definida a través del producto interior, tenemos $$ \left\| \sum_{k=1}^N \langle x,e_k \rangle e_k \right\|^2 = \sum_{k=1}^N |\langle x,e_k \rangle|^2 $$ porque los vectores $e_k$ son ortonormales. Además, nótese que para todo $N$ , $$ \|x\|^2 \geq \left\| \sum_{k=1}^N \langle x, e_k \rangle e_k \right\|^2 $$ Ahora sabemos que la suma $\sum_{k=1}^\infty |\langle x,e_k \rangle|^2$ converge, lo que significa que $\sum_{k=1}^N \langle x,e_k \rangle e_k$ converge. Sin embargo, ahora debemos demostrar que su límite es $x$ . Para ello, basta con demostrar que $x - \sum_{k=1}^\infty \langle x,e_k \rangle e_k$ es ortogonales a cada $e_k$ .

Answer 2

La proyección ortogonal $P_{N}x$ de $x$ en el subespacio $M_{N}$ abarcados por $\{ e_1,e_2,\cdots,e_N\}$ viene dada por $P_{N}x=\sum_{n=1}^{N}(x,e_n)e_n$ . La proyección ortogonal sobre $M_{N}$ es igual a la proyección del punto más cercano sobre $M_{N}$ (como en los buenos tiempos de tu clase de Cálculo.) Por lo tanto $$ \|x-P_{N}x\| \le \|x-(\alpha_1 e_1 + \cdots +\alpha_N e_N)\| $$ se mantiene para todas las elecciones de escalares $\{\alpha_n\}_{n=1}^{N}$ . La proyección ortogonal (equivalentemente, de punto más cercano) sobre un subespacio mayor es al menos igual de cercana. Por lo tanto, $$ \|x-P_{N'}x\| \le \|x-P_{N}x\| \le \|x-(\alpha_1 e_1 + \cdots +\alpha_N e_N)\|,\;\;\; N' \ge N. $$ Por lo tanto, si se puede aproximar $x$ a una distancia de $\epsilon$ por algunos $m \in M$ entonces la serie ortogonal está dentro de $\epsilon$ de $x$ para que sea lo suficientemente grande $N$ .

Answer 3

Podemos expresar cada serie representando $x_n$ como $x_n=\sum_{k\geq 1} \alpha_{nk} e_k$ considerando los coeficientes de Fourier $\alpha_{nk} = 0$ para $k > m_n$ . Entonces cada una de las secuencias de Coeficientes de Fourier, es decir $(\alpha_{nk})_{k\geq 1}$ para $n \in \Bbb{N}$ se encuentra en $l^2$ (espacio de todas las secuencias cuadradas sumables).

Dejemos que $s_n=(\alpha_{nk})_{k\geq 1}$ . Entonces $(s_n)_{n\geq 1}$ es una Secuencia de Cauchy en $l^2$ . Esto se puede comprobar por el hecho de que desde $x_n$ converge, es una Secuencia de Cauchy y $||x_n-x_m||=||s_n-s_m||$ . Esto hace que $(s_n)_{n>=1}$ una Secuencia de Cauchy. Dado que el espacio $l^2$ es completa la secuencia $(s_n)_{n \geq 1}$ convergerá a algún $l^2$ secuencia. Que sea $s=(\alpha_k)_{k\geq 1}$ .

Como $s \in l^2$ la serie $\tilde{x}=\sum_{k\geq 1} \alpha_k e_k$ donde $\alpha_k=\langle \tilde{x},e_k \rangle$ converge y $\tilde{x} \in \overline{span(e_k)}$

Lo único que queda es probar $x_n \rightarrow \tilde{x}$ lo cual es observable por el hecho de que $||x_n-\tilde{x}||=||s_n-s||$ .