¿Demostrando que el mapa de evaluación no es continuo?

Question

Hoy mismo estaba leyendo unas notas de análisis y me he dado cuenta de algo interesante y poco intuitivo. La métrica $d_1: \mathcal{C}([0,1],\mathbb{C}) \times \mathcal{C}([0,1],\mathbb{C}) \to \mathbb{R}$ se definió a través de $d_1(f,g) = \int_0^1|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$ , donde $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{C})$ es el espacio de las funciones continuas de $[0,1]$ a $\mathbb{C}$ . Había algunos otros teoremas más sencillos demostrados, pero justo al final decía:

Es interesante observar que con $x$ fijado en $[0,1]$ el mapa de evaluación $f \mapsto f(x)$ de $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{C})$ a $\mathbb{C}$ no es continua con respecto a $d_1$ .

No había ninguna explicación para esto. Estaba intentando pensar en cómo podría mostrar esto, pero nada de lo que se me ocurre parece que pueda funcionar. ¿Hay una explicación sencilla para esto?

Answer 1

Creo que lo que puede ayudar es una especie de intuición geométrica de lo que ocurre aquí. Esto no siempre da la respuesta cuando se trata de espacios más complicados, pero suele ser una buena manera de intentar razonar sobre problemas como éste.

Considere lo siguiente: su métrica determina la distancia entre las funciones basándose en el zona entre los gráficos de sus valores absolutos. Sin embargo, la distancia entre la evaluación de dos funciones $f$ y $g$ en $x$ es un longitud es decir, la distancia en línea recta entre $f(x)$ y $g(x)$ en $\mathbb{C}$ . ¿Ves a dónde quiero llegar con esto?

EDITAR: Comprueba este gráfico y ver si puedes llevarlo desde aquí.

Answer 2

Se trata de un operador lineal $$ev_x \colon (\mathcal{C}[0, \, 1], \vert \vert \cdot \vert\vert_1) \to (\mathbb{C},\, \vert \cdot \vert), \quad ev_x(f):=f(x)$$ entre espacios normados. Ahora bien, dicho operador es continuo si y sólo si está acotado, es decir, existe una constante $M$ tal que $$|ev_x(f)| \leq M \quad \textrm{for all}\,\, f\,\, \mathrm{with}\,\, \vert \vert f \vert \vert_1=1.$$ Pero está claro que se pueden construir funciones $f$ Satisfaciendo a $\int_0^1 |f(x)|dx=1$ y tal que su valor en $x$ es arbitrariamente grande, por lo que el mapa de evaluación $ev_x$ no está acotado.