¿Por qué nos importa?

Question

Definición de $\lim_{x \to a} f(x) = L$:

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. |f(x) - L| < \epsilon$

$ if \ 0 < |x-a| < \delta$

¿Por qué no podemos debilitar la suposición de que

$\exists N > 0$ s.t.

$\forall \epsilon \in (0, N), \exists \delta > 0 s.t. |f(x) - L| < \epsilon$

$ if \ 0 < |x-a| < \delta$

?

Si son equivalentes, por favor explique cómo esto último demuestra que la anterior, y por qué todavía necesitamos tener el caso 1, a continuación.

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Considere la posibilidad de probar

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. |x^2 - 25| < \epsilon \ if \ 0 < |x-5| < \delta$

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Primero tratamos de encontrar algo de $\delta$.

$|x^2 - 25|$

$ = |x - 5| |x + 5| < \epsilon$ si se tal vez elija $\delta$ s.t. ...:

Deje $M > 0$ (restricciones adicionales pueden ser necesarios).

Si $|x-5| < M$, luego tenemos

$$- M < x-5 < M$$

$$\to 5 - M < x < 5 + M$$

$$\to 10 - M < x + 5 < 10 + M$$

$$\to (-10 - M) < 10 - M < x + 5 < 10 + M$$

$$|x + 5| < 10 + M$$

Así, podríamos optar $\delta = \min\{M, \frac{\epsilon}{10+M} \}$ para los dos casos, en la prueba (que parece que no hay más restricciones en M son necesarios).

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Prueba: Vamos A $\epsilon > 0$.

Caso 1: $$\epsilon > M(10+M)$$

$$\delta = M$$

$$\to |x - 5| |x + 5| < M |x+5| < \frac{\epsilon}{10+M} (10+M) = \epsilon$$

Caso 2: $$0 < \epsilon < M(10+M)$$

$$\delta = \frac{\epsilon}{10+M}$$

$$\to |x - 5| |x + 5| < \frac{\epsilon}{10+M} (10+M) = \epsilon$$

Caso 3: $$\epsilon = M(10+M)$$

Elige un valor de $\delta$.

QED

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El caso 1 se refiere a los niveles de tolerancia mayor que $> M(10+M)$. ¿Por qué nos importa?

Por qué no es suficiente que hemos probado los dos últimos casos? Estoy pensando que podríamos encontrar $\delta$'s que trabajan para $\epsilon \in (0,N)$ algunos $N > 0$. ¿Por qué nos preocupamos de todos los $\epsilon$ ie $\epsilon > N$?

Answer 1

Usted puede "debilitarlo" de esa manera (resulta para no ser un debilitamiento en todos, excepto en apparence). Incluso tomar $N=1$ (o cualquier número positivo fijo) si quieres.

Claramente, la primera definición implica al segundo. Ahora, de lo contrario: suponga que tenemos $\exists N>0 \text{ s.t. }\forall \varepsilon \in (0, N), \exists \delta > 0 s.t. |f(x) - L| < \varepsilon \ if \ 0 < |x-a| < \delta$.

Luego, fijar cualquier $\varepsilon > 0$ y elegir $\varepsilon^\prime = \min(\varepsilon, N/2)$. Luego use la asunción anterior: existe un $\delta$ $\varepsilon^\prime$, y este $\delta$ entonces también funciona para $\varepsilon$ $\varepsilon^\prime \leq \varepsilon$.

Answer 2

Las definiciones son equivalentes. Asumir que no existe $N > 0$ tal que para cualquier $\varepsilon \in (0, N)$ existe $\delta > 0$ que $0 < |x - a| < \delta$ implica que el $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Queremos demostrar que, dado $\varepsilon' > 0$ existe $\delta' > 0$ que $0 < |x - a| < \delta'$ implica que el $|f(x) - L| < \varepsilon'$. Considerar dos casos

1. Si $\varepsilon' \geq N$, tome $\varepsilon = \frac{N}{2}$, y obtener un $\delta > 0$ que $0 < |x - a| < \delta$ implica que el$|f(x) - L| < \varepsilon = \frac{N}{2} < \varepsilon'$, de modo de tomar $\delta' = \delta$ obras.
2. Si $0 < \varepsilon' < N$, tome $\varepsilon = \varepsilon'$, y obtener un $\delta > 0$ que $0 < |x - a| < \delta$ implica que el$|f(x) - L| < \varepsilon = \varepsilon'$, de modo de tomar $\delta' = \delta$ obras.

Así, una vez que han demostrado la equivalencia de casos $1$ $3$ a ser redundante.

Answer 3

Su intuición es bastante bueno. En realidad dijo que no importa lo que la función hace "muy lejos" de $f(x_0)$ (Más precisamente, fuera de un barrio de $f(x_0)$).