Convergencia/divergencia de una serie con una raíz n-ésima

Question

para la siguiente serie, demuestra la convergencia/divergencia
$$\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$$

$$\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n!}}=\sum\limits_{v=1}^\infty \sqrt[n]\frac{n}{{n!}}=\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{(n-1)!}}$$

ahora $$\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{1}{{n}}=\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{n^n}}\leq\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{(n-1)!}}$$

$\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[n]{n^n}}$ diverges por lo que, por el criterio de comparación, $\sum\limits_{v=1}^\infty \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n!}}$ también diverge.

¿Es válida esta demostración?

Answer 1

¡Por supuesto!

Prueba de comparación (enunciado):

Sean $(a_n)_n$ y $(b_n)_n$ dos sucesiones no negativas de números reales. Supongamos que:

$1)$ $\sum_{n\ge1}a_n$ converge.

$2)$ $\exists n_0 \in \mathbb N$, tal que $b_n \le a_n$, $\forall n \ge n_0$

Entonces, $\sum_{n\ge1} b_n$ converge.

Forma alternativa:

Sean $(a_n)_n$ y $(b_n)_n$ dos sucesiones no negativas de números reales. Supongamos que:

$1)$ $\sum_{n\ge1} b_n$ diverge.

$2)$ $\exists n_0 \in \mathbb N$, tal que $b_n \le a_n$, $\forall n \ge n_0$

Entonces, $\sum_{n\ge1}a_n$ diverge.