Existe una clasificación de espacio para la cobertura de los mapas?

Question

Se dice a menudo que una gavilla en un espacio topológico $X$ es un "continuamente variable en el conjunto"$X$, pero la definición habitual no refleja esto porque una gavilla es no un mapa continuo de $X$ a algunos "espacio de juegos". (Un espacio de este tipo debe tener una clase adecuada de puntos!) Sin embargo, recientemente tuve la epifanía que esto puede ser hecho para trabajar, si uno está dispuesto a renunciar a algo de la generalidad y el enfoque localmente constante poleas, una.k.una. cubriendo los mapas.

Deje $X$ ser conectado a un CW complejo. Si entiendo correctamente, se $n$veces cubriendo mapa de $X$ es la misma cosa que un $S_n$-estructurado de fibra de lote típico de fibra de un conjunto discreto de $n$ puntos, por lo que sus clases de isomorfismo naturalmente corresponden a clases de isomorfismo de director de la $S_n$-paquetes en $X$, que a su vez se clasifica por una Eilenberg–MacLane espacio de $\mathrm{B} S_n = K(S_n, 1)$.

Pregunta 1. Hay un universal $n$veces cubriendo mapa de $\mathrm{B} S_n$, es decir, un $n$veces cubriendo mapa de $T_n \to \mathrm{B} S_n$ de manera tal que todos los $n$veces cubriendo mapa de $X$ se obtiene (hasta el isomorfismo) como un retroceso de $T_n \to \mathrm{B} S_n$ a lo largo de la clasificación de mapa?

A mí me parece que una vez hecho esto, se puede mejorar la situación ligeramente y obtener una clasificación de espacio para todos finito cubriendo mapas considerando $\coprod_{n \in \mathbb{N}} \mathrm{B} S_n$.

Pregunta 2. Hace obvio que la generalización de trabajo, es decir, $\mathrm{B} S_{\kappa}$ clasificar a $\kappa$-pliegue que cubre los mapas para cada cardenal $\kappa$?

Answer 1

La respuesta para ambas preguntas es sí, y Qiaochu dio la idea básica. La base del espacio es $BS_n$ y la fibra es $ES_n$. Usted puede hacer esto de hormigón (muy análoga a Grassmannians) mediante el modelo de $BS_n \equiv C_n(\mathbb R^\infty) / S_n$ $ES_n = C_n(\mathbb R^\infty)$ donde $C_n$ indica el espacio de configuración de $n$ etiquetado puntos en $\mathbb R^\infty$. es decir,$C_n (\mathbb R^\infty) = Emb(\{ 1,2,\cdots, n\}, \mathbb R^\infty)$.

edit: esto es una respuesta a Zhen Lin 2º comentario:

La teoría de la clasificación de los espacios (o mirar de otra manera, la obstrucción de la teoría). Por simplicidad, suponga $X$ está conectado. Dar $X$ un CW-estructura con un $0$-móvil, a continuación, un mapa de $X \to BS_n$ cuando se limita a la $1$-esqueleto da un homomorphism $\pi_1 X \to S_n$, esto es la acción de $\pi_1$ $S_n$ descrito en la mayoría de introducción de la topología algebraica cursos. Ahora pregunta, se puede extender el mapa de la $1$-esqueleto $X^1 \to BS_n$ $2$- esqueleto $X^2 \to BS_n$ ? Las obstrucciones (si cualquier) serían elementos de $\pi_1 BS_n$, correspondiente a la acción en la fibra a lo largo de una $2$-la fijación de la célula. Pero estos son triviales desde la cubierta del espacio de tira-de vuelta a la tapa de $D^2$, y cubriendo los espacios sobre los discos son triviales. Del mismo modo, la obstrucción a la ampliación de a $X^3$ son elementos de $\pi_2 BS_n = *$.

Answer 2

Puedo ver por qué esta es una pregunta, pero siento que la mejor forma de ver a cubrir los mapas de $X$, ver aquí, es decir que si $X$ es "localmente agradable", a continuación, la fundamental groupoid functor $\pi_1$ determina una equivalencia de categorías

$$TopCov(X) \to GpdCov(\pi_1 X),$$

cubrir los mapas de $X$ de la cobertura de los morfismos de $\pi_1 X$. Una cubierta de morfismos $p: Q \to G$ de groupoids satisface para $x \in Ob Q$ $g \in G$ a partir de a $px$ hay un único, $h \in Q$ a partir de a $x$ que $p(h)=g$.

Uno, a continuación, muestra que la categoría de $GpdCov(G)$ es equivalente a la categoría de acciones de $G$ sobre los conjuntos. Si $G$ actúa sobre un conjunto $S$ a la izquierda, hay una acción groupoid que uno puede escribir $S \rtimes G$ y la proyección de $S \rtimes G \to G$ es una cubierta de morfismos.