Transposición de la matriz de bloques

Question

Estoy tratando de demostrar que

$$\left[ \begin{array}{c c} A & B \\ C & D \\ \end{array} \right]^\top = \left[ \begin{array}{c c} A^\top & C^\top \\ B^\top & D^\top \\ \end{array} \right].$$

Intuitivamente, puedo ver que es cierto. Sin embargo, cuando intento demostrarlo formalmente, me pierdo rápidamente en los índices. ¿Qué trucos puedo utilizar para mantener las cosas claras?

Fuente: Ejercicio 2.6.16, P116, Introducción al Álgebra Lineal, 4ª Ed. por Strang

Answer 1

La mayoría de la gente se limitaría a afirmar que esto es obvio y omitiría la prueba, pero si no quieres hacer eso entonces quizás podrías demostrar primero que $$\begin{equation} \begin{bmatrix} M & N \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} M^T \\ N^T \end{bmatrix} \end{equation}$$ y \begin{equation} $$\begin{bmatrix} M \\ N \end{bmatrix}$$ ^T = $$\begin{bmatrix} M^T & N^T \end{bmatrix}$$ . \fin Entonces \begin{align} $$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$$ ^T &= $$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ C \end{bmatrix}$$ ^T \\ $$\begin{bmatrix} B \\ D \end{bmatrix}$$ ^T \fin{bmatrix} \\ &= $$\begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{bmatrix}$$ . \Fin