Para el normal $T\in\mathcal{B}(H)$ operador $T$ es inyectiva si su imagen es densa

Question

Deje $H$ un espacio de Hilbert, $T \in \mathcal{B}(H)$ es normal. Demostrar que:

$T$ es inyectiva iff $\mathrm{Im}(T)$ es denso en $H$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esto debe ir de la siguiente manera.

Para cualquier operador $T \in \mathcal{B}(H)$ que $\ker T^* = (\mathrm{Im} T)^{\perp}$. Esto implica que $\ker T = \ker T^*T$ porque restringido a la imagen de $T$, $T^*$ es inyectiva. Pero ahora, desde el operador $T$ es normal que usted consigue $$ \ker T = \ker T^*T = \ker TT^* = \ker T^* = (\mathrm{Im} T)^{\perp}.$$

Ahora lo que sigue es que $T$ es inyectiva si y sólo si el complemento ortogonal de la imagen es trivial, que dice que $T$ ha densa de la imagen.

Answer 2

Esta es la respuesta a la pregunta original cuando la normalidad de $T$ no fueron asumidos.

Esto no es cierto, consideran que el derecho a cambiar de $\ell_2$.

Incluso es isométrica, pero su imagen no es denso en $H$, es de codimension $1$$H$.