Así que hay una cuerda envuelta alrededor de un tambor circular, subtiende un ángulo de $\theta$. Una gran fuerza, $T_A$, tira en una dirección, y una pequeña fuerza $T_B$ tira en otra dirección.
La cuerda se queda inmóvil. El coeficiente de fricción entre el tambor y la cuerda es $\mu$. Voy a mostrar que $T_B=T_Ae^{-\mu\theta}$. He tratado de trabajar esto desde ambas direcciones.
Al revés, me parece que se tendría que llegar primero a $\log{\frac{T_B}{T_A}}=-\mu\theta$, y en orden a conseguir que me haría falta una parte integral de la $T_B$ $T_A$de lo que me imagino que sería uno más de la fuerza de rozamiento, pero no tengo idea de donde integral que vendría.
Adelante, he tratado de encontrar la fuerza radial en la polea, para que yo pueda derivar la fuerza de rozamiento. El libro que estoy usando contiene una derivación de la fuerza sobre una polea con una cuerda bajo tensión constante, donde se utiliza un ángulo infinitesimal elemento, encontrar $$\Delta F=2T\sin{\frac{\Delta \theta}{2}}=T\Delta \theta$$ y, a continuación, mostrar que la componente horizontal es $T\cos{\theta}\Delta \theta$ e integrar para obtener un total horizontal de la fuerza de $2T\sin{\theta_0}$ (donde $\theta_0$ es el ángulo subtendido por la cuerda). Ahora en mi problema de la tensión de ambos lados de la cuerda no es constante, así que sustituye $T$$T_A+T_B$. También estoy buscando la fuerza radial, no la fuerza horizontal, que creo que podría llegar al dejar fuera a la $\cos{\theta}$ en la integral, desde lo infinitesimal elemento de la fuerza radial. Pero luego me sale $$\int_{0}^{\theta} \frac{T_A+T_B}{2}\ \mathrm{d}{\theta'}=\frac{T_A+T_B}{2}\theta$$ lo que daría fuerza de rozamiento $\frac{T_A+T_B}{2}\theta\mu$, que no tiene nada cerca de un logaritmo o una exponencial. Así que básicamente me estoy preguntando, ¿qué está mal con mi método de integración alrededor del tambor, porque estoy bastante seguro de que debe haber un logaritmo. Gracias por la ayuda!
