Extremadamente simple combinatoria - dividir a los grupos

Question

Contamos con un grupo de $10$ hombres y $4$ mujeres, queremos dividir este grupo en dos grupos de $7$ de manera tal que cada uno de esos grupos tiene al menos $1$ mujer.

Lo que yo hice:

He resuelto este en dos direcciones, tanto de ellos están equivocados, me gustaría saber por qué.

Primera dirección - en Primer lugar, elegir a una mujer para grupo de $A$, $4$ opciones para ello. A continuación, podemos elegir a una mujer para grupo de $B$, $3$ opciones para ello. Ahora tenemos $12$ de la gente que necesitamos dividir en $2$ grupos de $6$. Tenemos $\begin{pmatrix} 12\\ 6\end{pmatrix}$ opciones para ello. En general eso es $4 \times 3\times \begin{pmatrix} 12\\ 6\end{pmatrix} = 11088$

Segunda dirección - Permite el recuento de todo el número de agrupaciones, grupos de $7$ y restar aquellos en los que hay un grupo con ninguna mujer. Número total de agrupaciones - $\begin{pmatrix}14 \\ 7 \end{pmatrix}$. Tenemos 14 personas, necesitamos dividir en $2$ grupos de $7$.

Número de agrupaciones, donde hay un grupo sin una mujer - $\begin{pmatrix}10 \\ 7\end{pmatrix}$. Elija cómo agrupar los $10$ hombres solamente.

$\begin{pmatrix}14 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10 \\ 7\end{pmatrix}=3432-120 = 3312$

Respuesta correcta - $1596$.

Qué? Cómo? Por qué? Me gustaría saber de donde es mi lógica de falla.

Answer 1

Ellos quieren sin etiquetar grupos, y usted ha estado pensando en términos de etiquetado de los grupos. Muestra de ello es el uso de los términos Grupo a y Grupo B.

El número de maneras de dividir el $14$ sin etiquetar a la gente en grupos de es $\frac{1}{2}\cdot \binom{14}{7}$, la mitad que el número de maneras de dividir en grupos etiquetados.

Si se resta la $\binom{10}{7}$ maneras de dividir en dos grupos, uno de hombres, usted va a obtener la respuesta correcta. Tenga en cuenta que $\binom{10}{7}$ cuenta el número de maneras de dividir en mal etiquetadas grupos, uno de hombres. De allí se $2\cdot \binom{10}{7}$ maneras de dividir en dos etiquetados grupos, uno de hombres.

Nota: Su primera manera en la que intervienen múltiples contar. Ponemos una mujer, dice Alicia, en el Grupo A. más Tarde, usted puede tener poner Beti y Cecille en el Grupo A. el Que le da la misma agrupación como poner Beti en el Grupo a, y más tarde Alicia y Cecille.

Answer 2

Usted está en el camino correcto, pero usted está overcounting. En el primer método, supongamos que usted elija mujer $W_1$, en el grupo $A$, y, a continuación, agrega las mujeres $W_2$$W_3$, por ejemplo, a ese grupo. El problema es que usted está contando esto como distinta de la primera elección de $W_2$ y, a continuación, la adición de $W_1$ $W_3$ o $W_3$ y, a continuación,$W_1$$W_2$.

En el segundo método, tenga en cuenta que $14 \choose 7$ elige un grupo de $7$ total $14$, pero en hacer entonces usted también han determinado que el otro grupo de $7$ (es decir, los que no fueron escogidos). Por lo tanto, usted debe dividir por $2$. (Puede ser que sea más fácil mirar en menor caso, por ejemplo, la división de $4$ personas en $2$ grupos de $2$. Hay $\frac12{4 \choose 2} = 3$ formas de hacerlo.)

Continuando con el segundo método, poner todos los $4$ a las mujeres en un grupo y elija $3$ a los hombres a unirse a ellos: hay $10 \choose 3$ formas de hacerlo. La respuesta es, por tanto,

$$\frac12{14 \choose 7} - {10 \choose 3}.$$

Answer 3

Vamos a utilizar un poco más de la notación. Hagamos referencia a los hombres y a las mujeres por número, $M_1,M_2,\dots,W_1,W_2,W_3,W_4$.

El motivo por el que la lógica no es suficiente para que el primer intento fue que la secuencia de pasos: (Elige el que la mujer va al grupo a)(a Escoger qué mujer va al grupo B)(Elegir seis personas más para ir a grupo a) vientos de hasta tener la mujer recogidos en el paso uno tan especial con respecto a los demás.

Las siguientes dos secuencias de opciones de dar el "mismo" resultado:

• $W_1, W_3, (W_2,M_1,M_2,M_3,M_4,M_5)$
• $W_2, W_3, (W_1,M_1,M_2,M_3,M_4,M_5)$

En ambos casos, nuestro grupo $A$ se parece a $(W_1,W_2,M_1,M_2,M_3,M_4,M_5)$. Recordar que el orden dentro del grupo, no importa.

La segunda interpretación es casi correcto, dado que los dos grupos son distinguibles. Es decir, hay un Grupo de "$A$ " y un "Grupo de $B$." Sin embargo, no nos ha dicho que. Podemos asumir entonces que los dos grupos no están etiquetados.

Me hizo decir casi correcta. El error estaba en que sólo se quita los casos donde el grupo $A$ estaba lleno de chicos. Usted necesita para eliminar también los casos en los que el grupo $B$ estaba lleno de chicos, para un total de $\binom{14}{7}-2\cdot \binom{10}{7} = 3192$

Para tener en cuenta el hecho de que los dos grupos no tienen etiqueta y indistinguibles, tomamos nota de que, contando grupo $A$ tan diferente de la del grupo de $B$, el doble de contado de cada escenario, si dividimos por dos, nosotros nos encargamos de la doble contabilización, para una respuesta final de la $\frac{3192}{2}=1596$